高中数学A版选修第三册第六章计数原理.pdfVIP

高中数学选择性必修第三册

第六章计数原理

1）.分类加法计数原理与分步乘法计数原理

1．分类加法计数原理

完成一件事有n类不同的方案，在第一类方案中有m1种不同的方法，在第二类方案中有m2

种不同的方法，……，在第n类方案中有mn种不同的方法，则完成这件事情，共有N＝

______________种不同的方法．

2．分步乘法计数原理

完成一件事情需要n个不同的步骤，完成第一步有m1种不同的方法，完成第二步有m2种

不同的方法，……，完成第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事情共有N＝

________________种不同的方法．

3．两个计数原理的区别

分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及完成一件事情的不同方法的种数．它们的

区别在于：分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完

成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件

事才算完成．

2）、排列

1定义

(1)从n个不同元素中取出m个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素

中取出m个元素的一排列

(2)从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m

个元素的排列数，记为Amn.

2排列数的公式与性质

(1)排列数的公式：Amn=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)

特例：当m=n时，Amn=n!=n(n-1)(n-2)…×3×2×1

规定：0!=1

3）、组合

1定义

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(1)从n个不同元素中取出m个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素

的一个组合

(2)从n个不同元素中取出m个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m

个元素的组合数，用符号Cmn表示

2比较与鉴别

由排列与组合的定义知，获得一个排列需要“取出元素”和“对取出元素按一定顺序排

成一列”两个过程，而获得一个组合只需要“取出元素”，不管怎样的顺序并成一组这一个

步骤

排列与组合的区别在于组合仅与选取的元素有关，而排列不仅与选取的元素有关，而且

还与取出元素的顺序有关。因此，所给问题是否与取出元素的顺序有关，是判断这一问题是

排列问题还是组合问题的理论依据

4）.排列组合与二项式定理知识点

1.计数原理知识点

①乘法原理：N=n1·n2·n3·…nM(分步)②加法原理：N=n1+n2+n3+…+nM(分类)

2.排列(有序)与组合(无序)

Anm=n(n-1)(n-2)(n-3)…(n-m+1)=n!/(n-m)!Ann=n!

Cnm=n!/(n-m)!m!

Cnm=Cnn-mCnm+Cnm+1=Cn+1m+1k•k!=(k+1)!-k!

3.排列组合混合题的解题原则：先选后排，先分再排

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排列组合题的主要解题方法：优先法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑

其他元素.以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.

捆绑法(集团元素法，把某些必须在一起的元素视为一个整体考虑)

插空法(解决相间问题)间接法和去杂法等等

在求解排列与组合应用问题时，应注意：

(1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题;

(2)通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理;

(3)分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏;

(4)列出式子计算和作答.

经常运用的数学思想是：

①分类讨论思想;②转化思想;③对称思想.

4.二项式定理知识点：

①(a+b)n=Cn0ax+Cn1an-1b1+Cn2an-2b2+Cn3an-3b3+…+Cnran-rbr+…+Cn

n-1abn-1+Cnnbn