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考点09函数模型及其应用
【命题趋势】
函数模型及应用.一般出现在选择题和填空题的后两题,有时与导数综合作为解答题的一问呈现,难度较大.
【重要考向】
本节通过零点问题考查函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想的运用,以及考生的逻辑推理、直观想象和数学运算核心素养.
二次函数模型的应用
在函数模型中,二次函数模型占有重要的地位.根据实际问题建立二次函数解析式后,可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等来求函数的最值,从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题.
【典例】
1.在如图所示的三角形空地中,欲建一个如图所示的内接矩形花园(阴影部分),则该矩形花园的面积的最大值为()
A.120 B.210 C.225 D.300
答案及解析:
1.C【分析】可设矩形的长为,宽为,则以长为底的三角形和该锐角三角形相似,再根据相似比求出与的关系式,表示出面积关于的关系式,即可求解
【详解】设矩形的长为,宽为,则以长为底的三角形和该锐角三角形相似,可得,则矩形面积,当矩形长时,面积最大,为225
故选:C
【点睛】本题考查以三角形为载体建立的一元二次函数求最值问题,找出长与宽的等量代换关系是解题关键
指数函数、对数函数模型的应用
(1)在实际问题中,有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示.通常可以表示为(其中N为基础数,p为增长率,x为时间)的形式.求解时可利用指数运算与对数运算的关系.
(2)已知对数函数模型解题是常见题型,准确进行对数运算及指数与对数的互化即可.
【典例】
2.某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储存温度x(单位:℃)满足函数关系(k,m为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是64小时,在18℃的保鲜时间是16小时,则该食品在36℃的保鲜时间是()
A.4小时 B.8小时 C.16小时 D.32小时
答案及解析:
2.A【分析】由该食品在0℃的保鲜时间是64小时,在18℃的保鲜时间是16小时,列出方程组,求出e9k,由此能出该食品在36的保鲜时间.
【详解】解:某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储存温度x(单位:℃)满足函数关系(k,m为常数),
该食品在0℃的保鲜时间是64小时,在18℃的保鲜时间是16小时,
∴,解得e9k,
∴该食品在36℃的保鲜时间:y=e36k+m=(e9k)4×=()4×64=4(小时).
故选:A.
【点睛】本题考查该食品在36的保鲜时间的求法,考查待定系数法等基础知识,运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.
3.中国的5G技术领先世界,5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式:.它表示:在受噪声干扰的信道中,最大信息传递速度C取决于信道带宽W,信道内信号的平均功率S,信道内部的高斯噪声功率N的大小,其中叫做信噪比.当信噪比比较大时,公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式,若不改变带宽W,而将信噪比从1000提升至4000,则C大约增加了()附:
A.10% B.20% C.50% D.100%
答案及解析:
3.B【分析】根据题意,计算出即可.
【详解】当时,,当时,
因为
所以将信噪比从1000提升至4000,则大约增加了20%
故选:B
【点睛】本题考查的是对数的运算,掌握对数的运算法则和运算性质是解题的关键,属于中档题.
分段函数模型的应用
(1)在现实生活中,很多问题的两变量之间的关系,不能用同一个关系式给出,而是由几个不同的关系式构成分段函数.如出租车票价与路程之间的关系,就是分段函数.
(2)分段函数主要是每一段上自变量变化所遵循的规律不同,可以先将其作为几个不同问题,将各段的规律找出来,再将其合在一起.要注意各段变量的范围,特别是端点.
(3)构造分段函数时,要力求准确、简洁,做到分段合理,不重不漏.
【典例】
4.在函数的图象上有一点,此函数与x轴、直线及围成图形如图阴影部分的面积为S,则S与t的函数关系图可表示为()
A. B. C. D.
答案及解析:
4.B【分析】可列出S与t的函数关系式,再根据解析式判定函数图像.
【详解】因为,所以其对应图象为B,
故选:B
【点睛】本题考查函数解析式以及函数图象,考查基本分析判断与求解能力,属基础题.
函数模型的比较
根据几组数据,从所给的几种函数模型中选择较好的函数模型时,通常是先根据所给的数据确定各个函数模型中的各个参数,即确定解析式,然后再分别验证、估计,选出较好的函数模型.
5.在一次数学实验中,运用图形计算器采集到如下一组数据:
x
-2.00
-1.00
0
1.00
2.00
3.00
y
0.24
0.51
1
2.02
398
8.02
则x、y的函数关系与下列哪类函数最接近?(其中
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