牛吃草问题介绍.docx

牛吃草问题小学奥数培训姓名：

牛吃草问题

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解题关键：

牛顿问题俗称“牛吃草问题”，牛每天吃草，草每天在不断均匀生长。解题环节主要有四步：

1、求出每天长草量；

2、求出牧场原有草量；

3、求出每天实际消耗原有草量(牛吃的草量-—生长的草量=消耗原有的草量)；

4、最后求出牛可吃的天数。

5、每头牛一天吃多少草规律总结

牛顿问题的难点在于草每天都在不断生长，草的数量都在不断变化。解答这类题目的关键是想办法从变化中找出不变量，我们可以把总草量看成两部分的和，即原有的草量加新长的草量。显而易见，原有的草量是一定的，新长的草量虽然在变，但如果是匀速生长，我们也能找到另一个不变量——每天（每周）新长出的草的数量。

基本思路：假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差；再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量。

基本特点：原草量和新草生长速度是不变的；关键问题：确定两个不变的量。

基本公式：

生长量=（较长时间×长时间牛头数-较短时间×短时间牛头数）÷（长时间-短时间）；原有草量=较长时间×长时间牛头数-较长时间×生长量；

牛吃草问题常用到四个基本公式：

牛吃草问题又称为消长问题，是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随着吃的天数不断地变化。解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是︰

草的生长速度=（对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数）

÷（吃的较多天数－吃的较少天数）；

原有草量=牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；`

吃的天数=原有草量÷（牛头数－草的生长速度）；

牛头数=原有草量÷吃的天数+草的生长速度。

例1、牧场上有一片牧草，供24头牛6周吃完，供18头牛10周吃完．假定草的生长速度不变，那么供19头牛需要几周吃完？

解：设1头牛吃一周的草量的为一份．

（1）24头牛吃6周的草量24×6=144（份）

（2）18头牛吃10周的草量18×10=180（份）

（3）（10-6）周新长的草量

180-144=36（份）

每周新长的草量36÷（10-6）=9（份）

原有草量24×6-9×6=90（份）

或18×10-9×10=90（份）

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全部牧草吃完所用时间

不妨让19头牛中的9头牛去吃新长的草量，剩下的10头牛吃原有草量，有90÷（19-9）=9（周）

答：供19头牛吃9周．

例2、一块草地，10头牛20天可以把草吃完，15头牛10天可以把草吃完。问多少头牛5天可以把草吃完？

解草是均匀生长的，所以，草总量＝原有草量＋草每天生长量×天数。求“多少头牛5天可以把草吃完”，就是说5天内的草总量要5天吃完的话，得有多少头牛？设每头牛每天吃草量为1，按以下步骤解答：

求草每天的生长量

因为，一方面20天内的草总量就是10头牛20天所吃的草，即（1×10×20）；另一方面，

20天内的草总量又等于原有草量加上20天内的生长量，所以

1×10×20＝原有草量＋20天内生长量

同理1×15×10＝原有草量＋10天内生长量由此可知（20－10）天内草的生长量为1×10×20－1×15×10＝50

因此，草每天的生长量为50÷（20－10）＝5

求原有草量

原有草量＝10天内总草量－10内生长量＝1×15×10－5×10＝100

求5天内草总量

5天内草总量＝原有草量＋5天内生长量＝100＋5×5＝125

求多少头牛5天吃完草

因为每头牛每天吃草量为1，所以每头牛5天吃草量为5。因此5天吃完草需要牛的头数125÷5＝25（头）

答：需要5头牛5天可以把草吃完。

例3、画展9点开门，但早有人来排队入场，从第一个观众来到时起，若每分钟来的观众一样多，如果开3个入场口，9点9分就不再有人排队；如果开5个入场口，9点5分就没有人排队。求第一个观众到达的时间？

解答：设每一个入场口每分钟通过"1"份人，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析

3个入场口9分钟3×9＝27：原有人＋9分钟来的人

5个入场口5分钟5×5＝25：原有人＋5分钟来的人

从上易发现：4分钟来的人＝27－25＝2，即1分钟来的人＝0.5；那么原有的人：27－9×0.5

＝22.5；

这些人来到画展用时间22.5÷0.5=45（分）。