1.4-一般单步法、Runge-Kutta格式.ppt

谢谢作业：作业要求：写出程序，列表或用图形显示结果，并给出图或表所说明的结果P37，例4.1习题*机动目录上页下页返回结束1.4一般单步法、格式1.4一般单步法、格式1.4.1一种构造单步法的方法━泰勒级数法设初值问题前面，我们研究了欧拉法和梯形法，它们有一个共同的特点，即在格式中只包括的值，或者说由，仅使用的值计算出的值，这种格式称为单步格式，下面研究一般单步法。因此式中，都是相对于变量的偏导数.的解阶可微，将在点展开为泰勒级数，有(1.22)由方程可得于是式(1.22)可写成其中舍去，可得称为一般单步法.(1.23)所以局部截断误差为，在式(1.23)中令，即得欧拉法。考察局部截断误差为任意关于的函数，其对于微分方程的解满足(1.24)且为使上式成立的最大整数，则称(1.25)定义1.2给出单步法1.4.2一般单步法基本理论注：欧拉法为一阶单步法，泰勒级数法式(1.23)为阶单步法。从而由单步法的定义得:定义，则因此可将单步法的相容性定义为:定义1.3如果则称单步法为与初值问题(1.3)相容。欲使定理成立要证明存在常数,对定理1.5如果关于所有实数满足条件，则单步法(1.23)稳定。由相容性可以得到格式的收敛性:定理1.6如果，对于所有实数满足条件，则收敛的充要条件是格式相容，即满足。定理1.7在定理1.6的条件下，如果局部截断误差为，则单步法的整体截断误差满足(1.26)特别若,则，整体截断误差比局部截断误差低一阶。单步法的整体截断误差1.4.3格式从前面讨论可见，构造高阶单步法的关键在于构造，使局部截断误差与同阶，故为一阶格式。(1.27)中的局部截断误差阶尽可能高。欧拉法满足为了要求，利用泰勒级数法可得到如下二阶格式这时我们有格式(1.27)计算过程中要求函数的两个偏导数在处的值，比较麻烦。可以预计，利用泰勒级数法推导出的高阶格式需要求更多的偏导数值，计算更繁复。那么是否可以避免计算偏导数，而得到高阶单步格式的呢？分析梯形法的预报校正格式(1.20)Runge-Kutta型方法是用在一些点上的值表示，使单步法的局部截断误差的阶和Taylor展开法相同。先在区间上讨论。将初值问题写成积分形式则可用他们的一次组合近似如何计算呢？直观的想法：由Euler法再由Euler法，从现要求选取适当的节点和系数，使有尽可能高的逼近阶。Runge-Kutta法的构造：引进下三角形系数阵：二级二阶方法。一般而言，二级二阶格式可以写成(1.28)适当选择参数，使局部截断误差常用Runge-Kutta法的推导另一方面，由二元Taylor展开因此要求满足(1.29)(1)取，则,即得二级二阶法(1.30)(2)令，则，由此得算式为(1.31)这是一个含有四个参数、