2024年重庆一中高2024届3月月考数学-答案.doc

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2024年重庆一中高2024届3月月考

数学参考答案

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

A

B

A

D

B

C

A

C

【解析】

1．由题意，可得，所以阴影部分所表示的集合为，故选A．

2．，，所以虚部为，故选B．

3．，由得，故选A．

4．A，B选项中要调查的总体数量和工作量都较大，适合采用抽查；C选项的检测具有毁损性，适合抽查；D选项要调查的总体数量较小，工作量较小，适合采用普查，故选D．

5．已知，，，故选B．

6．的最小值为，，即圆心到直线的距离为，计算可得，故选C．

7．易知设，则在

，得，故选A．

8．易知面积之和为：

，故选C．

二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）

题号

9

10

11

答案

ABD

BC

BCD

【解析】

9．易知，A对；，B对；对于C，，C错；对于D，服从超几何分布，其中，，，，故选ABD．

10．令A错；，B正确；，

C正确；令，D错，故选BC．

11．易知为等差数列，设其公差为，则也为等差数列，则公差为，由，则，，A错；，

，故2024项和为，B对；

，当时，，当，

，单增，且，，C对；

，且，，所以，，当且单增，D对，故选BCD．

三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）

题号

12

13

14

答案

【解析】

12．易知，，即．

13．令，则，由题意知；

，令

．

14．延长正三棱台交于O，则为正四面体，为的中心，则，且，值为

．

四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15．（本小题满分13分）

解：（1），

即，

． ………（6分）

（2）由外接圆的半径为，得，

………（8分）

边上的高为，

， ………（10分）

，

故． ………（13分）

16．（本小题满分15分）

解：（1）取中点为，连接和，

，

又，，则，

，

令，则，

即①，

，平方得，

即②，

，

． ………（5分）

连接交于点，由四边形是矩形，得点为的中点，

则点和点到平面的距离相等．

作于点，

，，，

，．

，，，

在，则，即点到平面的距离为．

所以，点到平面的距离为． ………（10分）

（2），，

，

设直线与平面所成角为，

则，

． ………（15分）

注明：本题建立空间直角坐标系求解同样给分

17．（本小题满分15分）

解：（1）由已知得，即，．

………（5分）

（2）由（1）得椭圆与双曲线，

由已知得直线的斜率不为零，设直线的方程为，

，

则，

，

．……（9分）

，

由，

．

………（13分）

，

当时，为定值．

故在轴上是存在一点，使得为定值．

………（15分）

18．（本小题满分17分）

解：（1）设事件表示共有次向右游走，事件B表示第二次向左游走，

则表示一共向右游走2次，且第二次向左游走，则从剩余的三次选择两次向右游走，

故，

表示一共向右游走2次，故，

则． ………（6分）

（2）根据题意可知，

．……（9分）

若，最后一次必然向右游走，

故，

，记①，

②，

两式相减得，

，．

所以； ………（15分）

，

故． ………（17分）

19．（本小题满分17分）

解：（1），

则，所以，，

，则，，

由题意知，，，

所以解得，，

故． ………（5分）

（2）函数的定义域为，，

，时，；时，，

在上单调递增，在上单调递减．

………………（7分）

函数的图象与轴交于两点，

，即，

令，则，，

即在，，又，，，

即，，

当时，，当时，

，． ………（10分）

，，

，

，，

令，则恒成立． ………（14分）

令，则，

，

令，

则在，

，

即，

当时，，

，故． ………（17分）