线性代数-初等变换.docVIP

四、初等变换与初等矩阵

定义7以下三种变换称为矩阵的初等行变换：

⑴交换矩阵中两行的位置（交换第两行，记为）；

⑵用一个非零数去乘矩阵某一行中的每一个元素（用乘第行，记为）；

⑶把某一行中所有元素的相同倍数加到另一行对应的元素上去（把第行的倍加到第行，记为）。

一般来说，一个矩阵经过初等行变换后，就变成了另一个矩阵。当矩阵经过初等行变换变成矩阵时，就写成。为了明确是经过了哪些变换使变成了的，还可以把所作变换的记号依次标注在符号“”的上、下方。比如

表示先用乘左边矩阵的第一行，再把所得第一行的倍加到第二行，从而得到了右边的矩阵。

如果元素不全为零的行（称为非零行）全都处在矩阵的上部，并且各非零行第一个（左起，下同）非零元素所在的列从上到下逐行右移，这样的非零矩阵称为阶梯型矩阵（指每一行形成一级“阶梯”）。如

，及

都是阶梯型矩阵。

各非零行第一个非零元素所在的列，除了该行上的元素是1，其余的元素都是零的阶梯型矩阵，称为行最简矩阵。如

，和

都是行最简矩阵。

定理1用初等行变换不仅可将任何非零矩阵化成阶梯型矩阵，还可进一步化成行最简矩阵。

证考察矩阵

，

只要其第一列的元素中有一个不为零，通过交换两行的位置，就能使第一列的第一个元素不为零，然后从第二行开始，每一行都加上第一行的一个适当倍数，使第一列除去第一个元素外全是零。这就是说，经过一系列初等行变换后

；

如果中第一列的元素全为零，那么已形如

。

对于子矩阵，再重复以上的做法，如此做下去直到变成阶梯形为止。

对于阶梯形矩阵的每一个非零行，用适当的非零数乘之，可使该行的第一个非零元素变成；注意到这个非零元素的正下方已全为零，只要把这一行的适当倍数加到它上面的各行，就可以使该元素的正上方也全为零。这样，就将进一步化成了行最简矩阵。

例如，设

这样就把变成了一个阶梯形矩阵。进一步，

，

就把化成了行最简矩阵。

将定义7中的“行”改为“列”，即得矩阵的初等列变换的定义（所用记号将“”换成“”）。矩阵的初等行变换与初等列变换统称为矩阵的初等变换。

由经某种初等变换变成的矩阵，可再用同一种初等变换变回到矩阵。事实上，若是交换的第行和第行而得到，那么交换的第行和第行就又得到；若是把的第行乘以一个不等于零的数而得到，那么把的第行乘以就又得到；若是把的第行乘以数加到第行而得到，那么把的第行乘以数加到第行就又得到。列变换的情形显然完全一样。

定义8如果矩阵可以由矩阵经过一系列初等变换得到，则称与等价。

等价是矩阵间的一种关系。不难证明，它具有

反身性：与自身等价；

对称性：如果与等价，则与也等价；

传递性：如果与等价，与等价，则与等价。

定理2任何一个矩阵都与一形如

的矩阵等价，它称为矩阵的标准形，其中可以是零。

证如果，那么它已经是标准形了，这时。假如，先根据定理1，可用初等行变换将化成行最简矩阵，再用“交换两列”和“把一列的倍数加到另一列”这两种变换即可将化成标准形，这时。

定义9由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。

显然，初等矩阵都是方阵，每个初等变换都有一个与之相应的初等矩阵。交换矩阵的第两行的位置，得

用非零常数乘的的第行，有

把矩阵的第行的倍加到第行，有

这些矩阵中没有写出的元素在主对角线上的都是1，在其他位置的都是零。

同样可以得到与列变换相应的初等矩阵。并且，对单位矩阵做一次初等列变换所得到的矩阵也包括在上面所列的这三类矩阵之中。比如，把的第列的倍加到第列，仍然得到。因此，这三类矩阵就是全部的初等矩阵。

定理3对一个矩阵作一次初等行变换就相当于在的左边乘上相应的初等矩阵；对作一次初等列变换就相当于在的右边乘上相应的初等矩阵。

证我们只看列变换的情形，行变换的情形可同样证明。令是任意一个矩阵，将按列分块成，由矩阵的分块乘法，

，

特别，令，得

，

列列

这相当于把的列与列互换。令，得

，

列

这相当于用乘的列。令，得

，

列列

这相当于把的列的倍加到列。

例单项选择题

设则必有（）.

设是三阶方阵，将的第1列与第2列交换得，再把第2列加到第3列得，则满足的矩阵为（）.

例证明：对任意的阶方阵，均存在型矩阵，使得

。

证略。