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B样条曲线和曲面B样条曲线给定n+1个控制点P0,P1,…,Pn,它们所确定的k阶B样条曲线是:这里u0,u1,…,un+k,是一个非递减的序列,称为节点,(u0,u1,…,un+k)称为节点向量。定义中可能出现,这时约定为0。选取,n=2,k=1,控制顶点是P0,P1,P2,这样应选择参数节点n+k+1=4个,设节点向量是(u0,u1,u2,u3),按式定义,可写出三个基函数:由公式可知所定义的B样条曲线是选取n=3,k=2,于是有四个控制顶点P0,P1,P2,P3,应有参数节点n+k+1=6个,设节点向量是(0,0,1,2,3,3),试画出所确定的2阶B样条曲线。取u=0.5,由于0.5∈[0,1]=[u1,u2],因此N1,1(0.5)=1,而其它的Ni,1(0.5)=0,i≠1。往下公式做递归计算。N2,2(0.5)和N3,2(0.5),不必计算,因为计算它们需要的i》2时的Ni,1(0.5)=0,所以知N2,2(0.5)=N3,2(0.5)=0。这样代入公式计算P(0.5),有:再取u其它一些值进行计算,结果如表所示。选取n=3,k=4,平面上四个控制顶点P0,P1,P2,P3的坐标依次是(1,1),(2,3),(4,3),(3,1),这时应取参数节点n+k+1=8个,设选取节点向量为(0,0,0,0,1,1,1,1),画出所确定的4阶B样条曲线。计算N1,4(0.5),其中0.5∈[0,1]=[u3,u4]N3,1(0.5)=1,而对i≠3,Ni,1(0.5)=0。用类似的过程可计算求出:可以证明更一般的结论,即,n+1个控制点P0,P1,…,Pn所确定的最高阶的B样条曲线是k=n+1阶的,这时由节点向量(0,0,…,0,1,1,…,1)所确定的B样条曲线,与该n+1个控制点所确定的Bezier曲线相同。在参数节点的众多选取方法中,最多使用的是选择参数u的每一区间为等长的情况,这时所得到的B样条函数称为是等距的,或均匀的。以下我们转入讨论等距的B样条曲线。考虑使用较多的情况,可假定ui=i,i=0,1,…,n+k,再引入tj=u-ui+j,因为这可以使得ui+j≤u≤ui+j+1与0≤tj≤1是一致的。递归式,经过计算,可以写出:如果固定在ui+3≤u≤ui+4区间,可以写出:上述结果对任意的0≤i≤n-3成立,令i=0,可写出四个B样条函数:由节点向量(0,1,2,3,4)所确定的均匀B样条基函数Ni,4(u)曲线(i=0,1,2,3)。图所示的B样条基函数Ni,4(u)由四条三次多项式曲线片拼接而成。当节点在区间[ui,ui+k]上B样条曲线基函数Ni,k(u)大于0,而在其它区间上则为0,并且Ni,k(u)在节点(ui,ui+1,…,ui+k)处是连续的设给出n+1个控制点P0,P1,…,Pn,则所确定的4阶3次等距B样条曲线是:曲线的性质Pi,Pi+1,Pi+2,Pi+3确定的一段曲线的起点的位置向量、切线向量及二阶导向量,事实上都只与ΔPiPi+1Pi+2有关,而终点处各量只与ΔPi+1Pi+2Pi+3,有关。如果考虑接下去的一段曲线,即Pi+1,Pi+2,Pi+3,Pi+4确定的一段,在其起点,上述各量就只与Pi+1Pi+2Pi+3有关,并恰好是前一段曲线终点处的上述各量,自然是对应相等的。这就证明了曲线在拚接处是连续的,一阶和二阶导数也是连续的。因此知道4阶3次等距B样条曲线:虽然分段确定,但各段拚接处有直到二阶导数的连续性,整条曲线是光滑的。4阶3次等距B样条曲线具有凸包性,这通过验证0≤Nj,4(u)≤1,0≤j≤3及用B样条曲线可构造直线段、尖点、切线等特殊情况。对于4阶3次B样条曲线P(u)若要在其中得到一条直线段,只要控制点Pi,Pi+1,Pi+2,Pi+3四点位于一条直线上,此时P(u)对应的ui+3≤u≤ui+4的曲线即为一段直线,且和Pi,Pi+1,Pi+2,Pi+3所在的直线重合。为了使P(u)能过Pi点,只要Pi,Pi+1,Pi+2三点重合,此时P(u)过Pi点(尖点)。B样条曲面0≤u≤1,0≤w≤1,0≤k≤K,0≤l≤L每一个曲面片Qkl(u,w)由16个控制点确定。*其中Ni,k(u)递归定义如下:u00.511.522.53N0,2(u)10.500000N1,2(u)00.510.500
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