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2024年宁波二模模拟考试数学试题
一、单选题(每题5分,共40分)
1.已知点集.设非空点集,若对中任意一点,在中存在一点(与不重合),使得线段上除了点外没有中的点,则中的元素个数最小值是(????)
A.1 B.2 C.3 D.4
已知复数z的实部大于等于1,则的最小值为()
A.2 B.3 C.13-12
3.已知实数a、b,满足,,则关于a、b下列判断正确的是(????)
A.a<b<2 B.b<a<2 C.2<a<b D.2<b<a
4.( )
A.1sin1° B.45sin1° C.
5.如图,已知椭圆和双曲线具有相同的焦点,,A、B、C、D是它们的公共点,且都在圆上,直线与x轴交于点P,直线与双曲线交于点,记直线、的斜率分别为、,若椭圆的离心率为,则的值为(?????)
??
A.2 B.
C. D.4
6.已知向量,,满足,,,则32的最大值是()
A.15B.332C.3+365
7.等差数列的通项是,等比数列满足,,其中,且、、均为正整数.有关数列,有如下四个命题:
①存在、,使得数列的所有项均在数列中;
②存在、,使得数列仅有有限项(至少1项)不在数列中;
③存在、,使得数列的某一项的值为2023;
④存在、,使得数列的前若干项的和为2023.
其中正确的命题个数是(????)个
A.0 B.1 C.2 D.3
我们规定具有下述性质的正整数为“奇妙数”:若将中的每个数任意染为红色或者蓝色,则或者存在9个互不相同的红色的数满足,或者存在10个互不相同的蓝色的数满足.则最小的“奇妙数”为()
A.396 B.397 C.408 D.409
二、多选题(每题6分,共18分)
9.如图,ABCD是边长为5的正方形,半圆面APD⊥平面ABCD.点P为半圆弧上一动点(点P与点A,D不重合).下列说法正确的是(????)
??
A.三棱锥P-ABD的四个面都是直角三角形
B.三棱锥P一ABD体积的最大值为
C.异面直线PA与BC的距离为定值
D.当直线PB与平面ABCD所成角最大时,平面PAB截四棱锥P-ABCD外接球的截面面积为
10.函数在上有两个零点,下列说法正确的是(????)
A. B.
C. D.在上有2个极值点且
11.平面直角坐标系中xOy中,已知抛物线,焦点为F,准线为l,顶点为A,则下列说法正确的有:(????).
A.抛物线上两点P、G与顶点A为正三角形三顶点,PG与的对称轴交于N,则AN=6p.
B.过上两点Q、的切线交于T,作TK⊥l,直线Q与的对称轴交于,则TK=2F.
C.过焦点F作三条弦,则.
D.任意作一条直线与抛物线相交于(设R在上方),在直线取两点使得(设T在R上方,在下方),分别过作的切线,切点为,直线和交于M,则M为中点.
三、填空题(每题5分,共15分)
12.现要将一边长为101的正方体,分割成两部分,要求如下:(1)分割截面交正方体各棱,,,于点P,Q,R,S(可与顶点重合);(2)线段,,,的长度均为非负整数,且线段,,,的每一组取值对应一种分割方式,则有种不同的分割方式.(用数字作答)
13.正多面体又称为柏拉图立体,是指一个多面体的所有面都是全等的正三角形或正多边形,每个顶点聚集的棱的条数都相等,这样的多面体就叫做正多面体.已知正12面体的每个面均为正五边形,棱长为1,则它的体积为
14.已知函数的图象上存在四个点,过的切线为,其中,且围成的图形是正方形.则的取值范围为
四、解答题
15.(13分)设,满足.
(1)证明:若,则当时,.
(2)若存在满足,证明.
16.(15分)近些年来,三维扫描技术得到空前发展,从而催生了数字几何这一新兴学科.数字几何是传统几何和计算机科学相结合的产物.数字几何中的一个重要概念是曲率,用曲率来刻画几何体的弯曲程度.规定:多面体在顶点处的曲率等于与多面体在该点的所有面角之和的差(多面体的面角是指多面体的面上的多边形的内角的大小,用弧度制表示),多面体在面上非顶点处的曲率均为零.由此可知,多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如:正方体在每个顶点有个面角,每个面角是,所以正方体在各顶点的曲率为,故其总曲率为.
(1)求四棱锥的总曲率;
(2)表面经过连续变形可以变为球面的多面体称为简单多面体.关于简单多面体有著名欧拉定理:设简单多面体的顶点数为,棱数为,面数为,则有:.利用此定理试证明:简单多面体的总曲率是常数.
17.(15分)设整数满足1=a1≤a
(1)求f的最小值f0.
(2)求使f=f0成立的数组的个数.(可用组合数表示)
18.(17分)设为椭圆的左焦点,直线与椭圆交于,两点.
(1)
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