中考数学几何模型重点突破讲练：专题28 圆中的定弦定角和最大张角模型（教师版）.docxVIP

专题28圆中的定弦定角和最大张角模型

【模型1】定弦定角模型

如图28-1，在中，BC的长为定值，为定角度，

（1）确定点A的运动轨迹，有3种情况：

①如图28-2，当时，点A的运动轨迹为优弧BAC（不与B、C点重合）；

②如图28-3，当时，点A的运动轨迹为⊙O（不与点B、C重合）；

③如图28-4，当时，点A的运动轨迹为劣弧BAC（不与B、C点重合）。

（2）构成等腰三角形（AB=AC）时：点A到BC的距离最大，且此时的面积最大。

【模型变式1】

如图28-5，已知点A、B是的边PF上的两个定点，点Q是边PE上一动点，则当点Q在何处时，最大。

当的外接圆与边PE相切于点Q时，最大。

【证明】如图28-6，作的外接圆⊙O，设点为PE上不同与Q点的任意一点，连接、，与⊙O交于点D，连接BD，

当的外接圆与边PE相切于点Q时，最大。

【例1】如图，在中，，，，过点作的平行线，为直线上一动点，为的外接圆，直线交于点，则的最小值为__________．

【答案】2

【分析】如图，连接CE．首先证明∠BEC=120°，根据定弦定角，可得点E在以M为圆心，MB为半径的上运动，连接MA交于E′，此时AE′的值最小．

【解析】解：如图，连接CE．

∵AP∥BC，

∴∠PAC=∠ACB=60°，

∴∠CEP=∠CAP=60°，

∴∠BEC=120°，

,为定值，则点E的运动轨迹为一段圆弧

如图，点E在以M为圆心，MB为半径的上运动，过点作

∴中优弧度数为=240°，则劣弧度数为120°

∴△BMC是等腰三角形，∠BMC=120°，

∵∠BCM=30°，BC=，

∴MB=MC=8，

∴连接MA交于E′，此时AE′的值最小．

∵∠ACB=60°，∠BCO=30°，

∴∠ACM=90°，

∴MA==，

∴AE的最小值为=．

故答案为：2

【例2】数学概念

若点在的内部，且、和中有两个角相等，则称是的“等角点”，特别地，若这三个角都相等，则称是的“强等角点”.

理解概念

（1）若点是的等角点，且，则的度数是.

（2）已知点在的外部，且与点在的异侧，并满足，作的外接圆，连接，交圆于点.当的边满足下面的条件时，求证：是的等角点.（要求：只选择其中一道题进行证明！）

①如图①，

②如图②，

深入思考

（3）如图③，在中，、、均小于，用直尺和圆规作它的强等角点.（不写作法，保留作图痕迹）

（4）下列关于“等角点”、“强等角点”的说法：

①直角三角形的内心是它的等角点；

②等腰三角形的内心和外心都是它的等角点；

③正三角形的中心是它的强等角点；

④若一个三角形存在强等角点，则该点到三角形三个顶点的距离相等；

⑤若一个三角形存在强等角点，则该点是三角形内部到三个顶点距离之和最小的点，其中正确的有.（填序号）

【答案】（1）100、130或160；（2）选择①或②，理由见解析；（3）见解析；（4）③⑤

【分析】（1）根据“等角点”的定义，分类讨论即可；

（2）①根据在同圆中，弧和弦的关系和同弧所对的圆周角相等即可证明；

②弧和弦的关系和圆的内接四边形的性质即可得出结论；

（3）根据垂直平分线的性质、等边三角形的性质、弧和弦的关系和同弧所对的圆周角相等作图即可；

（4）根据“等角点”和“强等角点”的定义，逐一分析判断即可．

【解析】（1）（i）若=时，

∴==100°

（ii）若时，

∴（360°－）=130°；

（iii）若=时，

360°－－=160°，

综上所述：=100°、130°或160°

故答案为：100、130或160．

（2）选择①：

连接

∵

∴

∴

∵，

∴

∴是的等角点．

选择②

连接

∵

∴

∴

∵四边形是圆的内接四边形，

∴

∵

∴

∴是的等角点

（3）作BC的中垂线MN，以C为圆心，BC的长为半径作弧交MN与点D，连接BD，

根据垂直平分线的性质和作图方法可得：BD=CD=BC

∴△BCD为等边三角形

∴∠BDC=∠BCD=∠DBC=60°

作CD的垂直平分线交MN于点O

以O为圆心OB为半径作圆，交AD于点Q，圆O即为△BCD的外接圆

∴∠BQC=180°－∠BDC=120°

∵BD=CD

∴∠BQD=∠CQD

∴∠BQA=∠CQA=（360°－∠BQC）=120°

∴∠BQA=∠CQA=∠BQC

如图③，点即为所求．

（4）③⑤．

①如下图所示，在RtABC中，∠ABC=90°，O为△ABC的内心

假设∠BAC=60°，∠ACB=30°

∵点O是△ABC的内心

∴∠BAO=∠CAO=∠BAC=30°，∠ABO=∠CBO=∠ABC=45°，∠ACO=∠BCO=∠ACB=15°

∴∠AOC=180°－∠CAO－∠ACO=135°，∠AOB=180°－∠BAO－∠ABO=105°，∠BOC=180°－∠CBO－