中考数学几何模型重点突破讲练：专题27 切线模型（教师版）.docxVIP

专题27切线模型

【模型1】双切线模型

已知如图27-1，点为⊙外一点，、是⊙的切线，切点分别为、，根据切线的性质，可证明≌,，垂直平分。

【模型2】割线定理

如图27-2，已知在⊙中，弦、相交于点，点在⊙外。

【证明】如图27-5，连接、，

，

∽

【模型3】切割线定理

如图27-3，已知在⊙中，弦的延长线交⊙的切线于。

【证明】如图27-4，连接、，

为⊙的弦切角，

又

∽

【例1】如图，点P为⊙O外一点，过点P作⊙O的切线PA、PB，记切点为A、B，点C为⊙O上一点，连接AC、BC．若∠ACB＝62°，则∠APB等于（）

A．68° B．64° C．58° D．56°

【答案】D

【分析】根据切线性质求出∠PAO＝∠PBO＝90°，圆周角定理求得∠AOB，再根据四边形内角和定理即可求得．

【解析】解：∵PA、PB是⊙O的切线，

∴OA⊥PA，OB⊥PB，

∴∠PAO＝∠PBO＝90°，

∴∠AOB+∠P＝180°，

∵∠ACB＝62°，

∴∠AOB＝2∠ACB＝2×62°＝124°，

∴∠APB＝180°﹣124°＝56°，

故选：D．

【例2】已知：如图，、是⊙的割线，，，.则=______.

【答案】8

【分析】由于PAB和PCD是⊙O的割线，可直接根据割线定理求出PD的长．

【解析】根据割线定理得：PA?PB=PC?PD；

∵，，；

∴PD==8cm．

故答案为8.

【例3】如图，是⊙O的直径，射线交⊙O于点，是劣弧上一点，且平分，过点作于点，延长和的延长线交于点．

(1)证明：是⊙O的切线；

(2)若，，求⊙O的半径．

【答案】(1)见解析；(2)8

【分析】（1）连接OE，证明OEBF，得到OE⊥FG，即可得证．

（2）连接OE，AE，证明△GAE∽GEB，求得GB、AB的长，半径即可得解．

【解析】（1）如图，连接OE，

因为平分，

所以∠OBE=∠FBE；

因为OE=OB，

所以∠OBE=∠OEB；

所以∠FBE=∠OEB，

所以OEBF，

因为，

所以OE⊥FG，

所以是⊙O的切线．

（2）如图，连接OE，AE，

因为AB是直径，GF是圆的切线，

所以∠OEG=∠AEB=90°，

所以∠GEA=∠OEB；

因为OE=OB，

所以∠OBE=∠OEB；

所以∠GEA=∠GBE，

因为∠G=∠G，

所以△GAE∽GEB，

所以，

因为，，

所以，

解得GB=18，

所以AB=GB-AG=18-2=16，

所以圆的半径为8．

一、单选题

1．如图，AB是⊙O的直径，点M在BA的延长线上，MA＝AO，MD与⊙O相切于点D，BC⊥AB交MD的延长线于点C，若⊙O的半径为2，则BC的长是（）

A．4 B． C． D．3

【答案】B

【分析】连接OD，求出BC是⊙O的切线，根据切线长定理得出CD＝BC，根据切线的性质求出∠ODM＝90°，根据勾股定理求出MD，再根据勾股定理求出BC即可．

【解析】解：连接OD，

∵MD切⊙O于D，

∴∠ODM＝90°，

∵⊙O的半径为2，MA＝AO，AB是⊙O的直径，

∴MO＝2+2＝4，MB＝4+2＝6，OD＝2，

由勾股定理得：MD＝＝＝2，

∵BC⊥AB，

∴BC切⊙O于B，

∵DC切⊙O于D，

∴CD＝BC，

设CD＝CB＝x，

在Rt△MBC中，由勾股定理得：MC2＝MB2+BC2，

即（2+x）2＝62+x2，

解得：x＝2，

即BC＝2，

故选：B．

2．如图，、分别切于点、，点为优弧上一点，若，则的度数为（??）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】要求∠ACB的度数，只需根据圆周角定理构造它所对的弧所对的圆心角，即连接OA，OB；再根据切线的性质以及四边形的内角和定理即可求解．

【解析】解：连接OA，OB，

∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，

∴OA⊥AP，OB⊥BP，

∴∠PAO=∠PBO=90°，

∴∠AOB+∠APB=180°，

∵∠AOB=2∠ACB，∠ACB=∠APB，

∴3∠ACB=180°，

∴∠ACB=60°，

故选：C．

3．如图，⊙O的半径为，BD是⊙O的切线，D为切点，过圆上一点C作BD的垂线，垂足为B，BC＝3，点A是优弧CD的中点，则sin∠A的值是（）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题意构造△CDF，由圆的性质可证△CDF∽△CBD，有相似的性质即可得CD的值，从而求sin∠A；

【解析】作直径CF，连接CD和DF，

则∠A＝∠F，

∵BD切⊙O于D，

∴∠CDB＝∠F，

∵CB⊥DB，CF为直径，

∴∠CDF＝∠B＝90°，

∴△CDF∽△CBD，

∴，

∵＝7，BC＝3，

∴CD＝，

∴sinA＝sinF＝，

故选：C．

二、填空题

4．如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，点C为⊙O上一点