数值计算实验报告简要.docVIP

PAGE PAGE 1 数学与计算科学学院 实 验 报 告 实验项目名称 方程求根 所属课程名称 数值方法B 实 验 类 型 验证 实 验 日 期 2013-12-4 班 级 数学1102班 学 号 201164100207 姓 名 吕立婷 成 绩 实验三 方程求根 一、实验概述： 【实验目的】 掌握MATLAB基本知识，能够编写简单程序； 熟练掌握用迭代法和牛顿法求非线性方程问题。 【实验原理】 方程求根有多种方法，分别为根的有哪些信誉好的足球投注网站法，迭代法，Newton法，弦截法，抛物法，代数方程求根法。其中，最重要的要属迭代法和Newton法，这两种方法为我们提供了行之有效的为我们提供了求解一般方程的方法。 迭代法 考虑方程 （1） 这种方程是隐式的，因而不能直接求解。但如果给出根的某个猜测值，将它代入（1）式的右端，即可求得 。然后作为新的猜测值，进一步得到 。如此反复迭代。 上诉迭代法时一种逐次逼近法，其基本思想是想将上诉隐式方程（1）归结为一组显示的计算公式 （2） 即，迭代过程实质上是一个逐步显化的过程。 如果按公式（2）确定的数列 有极限 ，则称迭代过程(2)收敛。这时极限值 显然就是方程（1）的根。 设 是根 的某个预测值，用迭代公校正一次得 ，而由微分中值定理有 ，其中 介于 与 之间。 假定 改变不大，近似地取某个近似值 ，则由 得 。可以期望，按上式右端求得的 是比 更好的近似值。将每得到一次改进算作一步，并用 和 分别表示第 步的校正值和改进值，则加速迭代计算方案刻表述如下： 校正 ， 改进 。 （3） Newton法 运用前述加速技巧，对迭代过程 （4） 其加速公式（3）具有以下形式： 记 ，上面两个式子可以合写成 这种迭代公式通常称为简化的Newton公式，其相应的迭代函数是 。 （5） 如果用 代替（5）式的 ，则得到如下形式的迭代函数： ， 其相应的迭代公式 就是著名的Newton公式。 对于迭代过程（2），如果 在所求根 的邻近连续，并且 则该迭代过程在点 邻近是 阶收敛的。 【实验环境】 硬件环境:Intel(R) Core(TM) i5-2400 CPU @ 3.10GHz 3.09GHz,3.16GB的内存 软件环境:MATLAB 7.0 Microsoft word 2007 二、实验内容： 【实验方案】 方案一： 1、验证迭代法求解教材p141例题6.3 求方程 x3-x-1=0在x0=1.5附近的根 ； 2、牛顿法求解教材P150例题6.7 求方程xex-1=0在取初值x0=0.5的根。 方案二： 1、用迭代法求方程2x3-x-1=0的在初值x0=0根；分别选取迭代函数为x=和x=求解。分析比较迭代函数选取的不同对收敛性的影响； 2 、用牛顿法求x3-x-1=0在x0=1.5和x0=0附近的根，迭代10次。分析比较初值的选取对迭代法的影响。 【实验过程】（实验步骤、记录、数据、分析） （1）用迭代法求方程 在初值 根；分别选取迭代函数为和 求解。 得到迭代方程组 和迭代方程组 分析比较迭代函数选取的不同对收敛性的影响： 迭代次数 精确解 0 0 0 1 1 0.7937 -1 2 0.9644 -3 3 0.9940 -55 4 0.9990 -.3328e6 5 0.9998 -.7369e17 6 1.0000 -.8002e51 由上表可知不同的迭代函数会对求解近似根的结果产生不同的影响，对于迭代函数，当迭代次数达到6时，所求解的近似根达到要求，而对于迭代函数，我们发现无论迭代多少次都不可能得到我们所希望的结果，迭代一次时近似解就明显的偏离了精确解，迭代次数越多，所求解就越偏离精确解。由此可见，对于迭代法迭代函数的选取对于最终