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立体几何截面问题的十种题型 【题型一】 做截面的基本功：补全截面方法 【典例分析】 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AA1=2,AD=3,点E、F分别是AB、AA1的中点，点E、F、C1平面，直线A1D1平面=P，则直线BP与直线CD1所成角的余弦值是 【提分秘籍】 基本规律 截面训练基础： 模型：如下图E、F是几等分点，不影响作图。可以先默认为中点，等学生完全理解了，再改成任意等分点 方法：两点成线相交法或者平行法 特征：1、三点中，有两点连线在表面上。本题如下图是EF（这类型的关键）；2、“第三点”是在外棱上，如C1，注意：此时合格C1点特殊，在于它是几何体顶点，实际上无论它在何处，只要在棱上就可以。方法一：相交法，做法如图 方法二：平行线法。做法如图 【变式演练】 1.如图，在正方体中，M、N、P分别是棱、、BC的中点，则经过M、N、P的平面与正方体相交形成的截面是一个（ ） A．三角形 B．平面四边形 C．平面五边形 D．平面六边形 2.如图，在正方体中，E是棱的中点，则过三点A、D1、E的截面过（ ） A．AB中点 B．BC中点 C．CD中点 D．BB1中点 3.如图正方体，棱长为1，P为中点，Q为线段上的动点，过A?P?Q的平面截该正方体所得的截面记为.若，则下列结论错误的是（ ） A．当时，为四边形 B．当时，为等腰梯形 C．当时，为六边形 D．当时，的面积为 【题型二】 截面形状的判断 【典例分析】 一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三棱锥的各面均相切（球在三棱锥的内部，且球与三棱锥的各面只有一个交点），过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面图形是（ ） A． B． C． D． 【提分秘籍】 基本规律 一些容易出错误的地方 1.截面与几何体表面相交，交线不会超过几何体表面个数。 2.不会与同一个表面有两条交线。 3.与一对平行表面相交，交线平行（不一定等长） 4.截面截内切球或者外接球时，区分与面相切和与棱相切之间的关系 【变式演练】 1.如图，正四棱锥的高为12，，，分别为，的中点，过点，，的截面交于点，截面将四棱锥分成上下两个部分，规定为主视图方向，则几何体的俯视图为（ ） A．B．C． D． 2.用一个平面去截正方体，所得截面不可能是（ ） A．直角三角形 B．直角梯形 C．正五边形 D．正六边形 3.在正方体中，M为AB中点，N为BC中点，P为线段上一动点（不含C）过M、N、P与正方体的截面记为，则下面三个判断，其中正确判断的序号有______． ①当P为中点时，截面为六边形；②当时，截面为五边形； ③当截面为四边形时，它一定是等腰梯形； 【题型三】 平行关系确定截面 【典例分析】 在三棱锥中，，截面与，都平行，则截面的周长等于（ ） A． B． C． D．无法确定 【提分秘籍】 基本规律 平行关系确定的截面作图，一般情况下，利用线线、线面、面面特别是线面的平行性质定理推导。 【变式演练】 1.在正方体中，与平行，且过正方体三个顶点的截面是___________和___________. 2.若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥与平面α平行的棱有（ ） A．0条 B．1条 C．2条 D．4条 3.如图是一个以A1B1C1为底面的直三棱柱被一平面所截得的几何体，截面为ABC．已知AA1=4，BB1=2，CC1=3.在边AB上是否存在一点O，使得OC∥平面A1B1C1. 【题型四】 垂直关系确定的截面 【典例分析】 已知正三棱柱(底面为正三角形的直棱柱)的体积为，，是的中点，点是线段上的动点，过且与垂直的截面与交于点，则三棱锥的体积的最小值为 A． B． C．2 D． 【提分秘籍】 基本规律 垂直关系确定的截面，利用线面垂直定理，转化到表面寻找线线垂直。 【变式演练】 1.如图，为正方体，任作平面与对角线垂直，使得与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为，周长为，则（ ） A．为定值，不为定值 B．不为定值，为定值 C．与均为定值 D．与均不为定值 2.正方体，的棱长为4，已知平面α，，则关于α?β截此正方体所得截面的判断正确的是（ ） A．α截得的截面形状可能为正三角形 B．与截面α所成角的余弦值为 C．α截得的截面形状可能为正六边形 D．β截得的截面形状可能为正方形 3.已知正方体的棱长为2，M为的中点，平面过点且与垂直，则（ ） A． B．平面 C．平面平面 D．平面截正方体所得的截面面积为 【题型五】 求截面周长 【典例分析】 如图，在正方体中，，为棱的中点，为棱的四等分点（靠近点），过点作该正方体的截面，则该截面的周长是_____