中考数学圆与相似提高练习题压轴题训练附详细答案.pdf

中考数学圆与相似提高练习题压轴题训练附详细答案 一、相似 1．在△ABC 中，∠ABC=90°． （1）如图 1，分别过 A、C 两点作经过点 B 的直线的垂线，垂足分别为 M、N，求证： △ABM∽△ BCN； （2）如图2，P是边BC上一点，∠ BAP=∠C，tan∠PAC= ，求tanC 的值； （3）如图 3，D 是边 CA 延长线上一点，AE=AB，∠DEB=90°，sin∠ BAC= ， ，直 接写出tan∠CEB的值． 【答案】（1）解：∵AM⊥MN，CN⊥MN， ∴∠AMB=∠ BNC=90°， ∴∠ BAM+∠ABM=90°， ∵∠ABC=90°， ∴∠ABM+∠CBN=90°， ∴∠ BAM=∠CBN， ∵∠AMB=∠ NBC， ∴△ABM∽△ BCN （2）解：如图2，过点P作PM⊥AP交AC于M，PN⊥AM于N. ∵∠ BAP+∠1=∠CPM+∠1=90°， ∴∠ BAP=∠CPM=∠C， ∴MP=MC ∵tan∠ PAC= ， 设MN=2m,PN= m, 根据勾股定理得，PM= , ∴tanC= （3 ）解：在Rt△ABC 中，si ∠ BAC= = ， 过点A 作AG ⊥BE 于G，过点C 作CH ⊥BE 交EB 的延长线于H， ∵∠ DEB=90°， ∴CH ∥AG ∥DE， ∴ = 同（1）的方法得，△ABG ∽△ BCH ∴ ， 设BG=4m，CH=3m，AG=4 ，BH=3 ， ∵AB=AE ，AG ⊥BE， ∴EG=BG=4m， ∴GH=BG+BH=4m+3 ， ∴ ， ∴n=2m， ∴EH=EG+GH=4m+4m+3n=8m+3n=8m+6m=14m， 在Rt△CEH 中，ta ∠ BEC= = 【解析】【分析】（1 ）根据垂直的定义得出∠AMB=∠BNC=90°，根据同角的余角相等得 出∠ BAM=∠CBN，利用两个角对应相等的两个三角形相似得出：△ABM ∽△ BCN； （2 ）过点 P 作 PF⊥AP 交 AC 于 F ，在 Rt△AFP 中根据正切函数的定义，由 ta ∠ PAC= , 同（1 ）的方法得，△ABP ∽△ PQF，故 , 设 AB= a ，PQ=2a ，BP= b ，FQ=2b （a ＞0 ，b ＞0 ），然后判断出 △ABP ∽△ CQF ，得 从而表示出 CQ ，进根据线段的和差表示出 BC，再判断出△ABP ∽△ CBA ，得出 再得出 BC，从而列出方程，表示出 BC,AB，在 Rt△ABC 中，根据正切函数的定义 得出tanC 的值； （3）在 Rt△ABC 中，利用正弦函数的定义得出：sin∠ BAC= ,过点 A 作 AG⊥BE 于 G，过点 C 作 CH⊥BE 交 EB 的延长线于 H，根据平行线分线段成比例定理得出 ，同（1）的方法得，△ABG∽△ BCH ，故 ，设BG=4 ， CH=3 ，AG=4n ，BH=3n，根据等腰三角形 的三线合一得 出 EG=BG=4 ，故 GH=BG+BH=4m+3n，根据比例式列出方程，求解得出 n 与 的关系，进而得出 EH=EG+GH=4m+4m+3n=8m+3n=8m+6m=14 ，在 Rt△CEH 中根据正切函数的定义得出 tan∠ BEC的值。 2．在矩形ABCD 中，AB＝8，AD＝12，M是AD边的中点，P是AB边上的一个动点（不与 A、B重合），PM的延长线交射线CD于Q点，MN⊥PQ交射线BC于N点。 （1）若点N在BC之间时，如图： ①求证：∠ NPQ＝∠ PQN； ②请问 是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请举反例说明； （2）当△PBN与△NCQ的面积相等时，求AP 的值. 【答案】（1）证明：∵ 四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADC＝∠ADQ＝90°， AB//CD，∴∠APM＝∠DQM，∵M是AD边