2019_2020学年高中数学第1讲相似三角形的判定及有关性质第1课时平行线等分线段定理课件新人教A版选修.ppt

第1课时　平行线等分线段定理 1．平行线等分线段定理： 如果一组平行线在__________上截得的________相等，那么在其他________上截得的线段也相等． 一条直线 线段 直线 2．推论1： 经过三角形一边的________与另外一边平行的直线必平分第三边． 3．推论2： 经过梯形一腰的________，且与底边平行的直线平分另一腰． 中点 中点 1．如图，AB∥CD，AO＝OD，BC＝4，则CO＝____. 【答案】2 3．如图所示，已知a∥b∥c，直线AB与a，b，c分别交于点A，E，B，直线CD与a，b，c分别交于点C，E，D，若AE＝EB，则有(　　) A．AE＝CE B．BE＝DE C．CE＝DE D．CE >DE 【答案】C 4．如图所示，AB∥CD∥EF且AO＝OD＝DF，BC＝6，则BE等于(　　) A．9　 B．10 C．11　 D．12 【答案】A 【例1】　如图所示，已知M，N分别是?ABCD的边AB，CD的中点，CM交BD于点E，AN交BD于点F，请你探讨三条线段BE，EF，FD之间的关系，并给出证明． 平行线等分线段定理 【解题探究】　本题的关键是先证明AN∥CM，然后根据点M，N分别是□ABCD的边AB，CD的中点，易得点E为BF的中点，点F为DE的中点，故可得BE＝EF＝FD． 【解析】BE＝EF＝FD．证明如下： ∵M，N分别是□ABCD的边AB，CD的中点， ∴AM＝CN，AM∥CN. ∴四边形ANCM为平行四边形． ∴AN∥CM. 在三角形ABF中， ∵AF∥ME，且M为AB的中点， ∴E为BF的中点，故BE＝EF. 同理，在三角形CDE中， ∵CE∥NF，且N为CD的中点， ∴F为DE的中点，故DF＝EF. ∴BE＝EF＝FD． 平行线等分线段定理应在有线段的中点时应用，在没有线段的中点时应先构造线段的中点，然后才能应用定理及其推论证题． 【例2】　如图所示，已知在△ABC中，D是AC的中点，DE∥BC，交AB于点E，EF∥AC，交BC于点F，求证：BF＝CF. 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边 【解题探究】　D是AC的中点，利用推论1知E是AB的中点，再利用推论1得F是BC的中点． 【证明】在△ABC中，∵D是AC的中点，DE∥BC， ∴E是AB的中点(根据推论1)． 又∵EF∥AC且交BC于点F， ∴F是BC的中点(根据推论1)． ∴BF＝CF. 在三角形中，只要给出一边的中点和平行线，根据平行线等分线段定理的推论1，就可得出平行线与另一边的交点即是中点．本题也可以利用平行四边形和全等三角形来证明． 【答案】B 【例3】　如图所示，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，E是AB边的中点，连接ED，EC，求证：ED＝EC． 经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰 【思路分析】　在梯形中，若已知一腰的中点，一般过这点作底边的平行线即可得到另一腰的中点，所以由E是AB边的中点，作EF∥BC交DC于点F，即可得EF⊥DC且F是CD的中点，从而利用中垂线的性质得到结论． 【证明】过点E作EF∥BC交DC于点F. 因为在梯形ABCD中，AD∥BC， 所以AD∥EF∥BC． 又因为E是AB边的中点， 所以F是DC边的中点(根据推论2)． 因为∠ADC＝90°，所以∠DFE＝90°. 所以EF⊥DC于点F. 又因为F是DC的中点，所以EF是DC的垂直平分线．所以ED＝EC(线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等)． 证明不在同一直线上的两条线段相等，可以根据等腰三角形的两腰相等，或根据全等三角形对应边相等来证明． 3．顺次连接等腰梯形各边中点得到的四边形是(　　) A．平行四边形　　　 B．菱形 C．矩形　 D．正方形 【答案】B 1．定理中的“平行线组”是每相邻两条的距离都相等的特殊的平行线组． 2．求作等分点或证线段相等常常考虑用平行线等分线段定理． 3．被平行线组所截的两条直线的相对位置不影响定理的结论． 4．推论1、推论2是平行线等分线段定理的特殊情形． 5．在几何证明题中，有很多以中点为条件的证明问题，合理选取中点，巧妙地运用三角形、梯形中位线的性质，可以使问题得到有效解决．另外，要注意灵活运用三角形、平行四边形、等腰梯形的有关定理及性质． 6．平行线等分线段定理应在有线段的中点时应用，在没有线段的中点时应先构造线段的中点，然后才能应用定理及其推论证题．