幻灯片1 - 等差数列.ppt

* 专题四 数 列  第1讲 等差数列、等比数列 1.an与Sn的关系 Sn=a1+a2+…+an, 2.等差数列和等比数列 an=a1qn-1（q≠0) an=a1+（n-1）d 通项公式 an-an-1=常数（n≥2） 定义 等比数列 等差数列 （1）定义法 （2）中项公式法： =an·an+2(n≥2) (an≠0) {an}为等比数列 （3）通项公式法： an=c·qn(c、q均是不为0常数，n∈N*) {an}为等比数列 （4）{an}等差数列{  }为等比数列(0a≠1) （1）定义法 （2）中项公式法： 2an+1=an+an+2{an}为 等差数列 （3）通项公式法： an=pn+q(p、q为常数) {an}为等差数列 （4）前n项和公式法： Sn=An2+Bn（A、B 为常数） {an}为等差 数列 （5）{an}等比数列，an0 {logaan}为等 差数列 判定方法 前n 项和 （1）若m、n、p、q∈ N+，且m+n=p+q，am· an=ap·aq （2）an=amqn-m （3）等比数列依次每n 项和（Sn≠0）仍成等比 数列 （1）若m、n、p、q、 ∈N+，且m+n=p+q， 则am+an=ap+aq （2）an=am+（n-m）d （3）Sm,S2m-Sm,S3m -S2m，…仍成等差数 列 性质 3.求和先研究数列的通项，根据通项选择方法，化 归为基本数列求和. （1）若cn=an·bn，{an}为等差数列，{bn}为等比数 列，则用错位相减法. （2）若cn=an+bn，则用分组求和，其中分组的方法 比较灵活. （3）裂项相减法形如an= 等. （4）倒序相加法. 一、等差数列的通项及前n项和 例1 已知{an}是一个等差数列，且a2=1,a5=-5. （1）求{an}的通项an； （2）求{an}前n项和Sn的最大值. 思维启迪 由a2及a5的值，可求出等差数列{an}的 首项a1及公差d，从而求出通项公式an.再由Sn的公 式可求出Sn的表达式，利用二次函数求最值即可求 出Sn的最大值. 解 （1）设{an}的公差为d,由已知条件， 所以an=a1+（n-1）d=-2n+5. （2）Sn=na1+ =-n2+4n=4-（n-2）2. 所以当n=2时，Sn取得最大值4. 探究提高 （1）涉及等差数列的有关问题时往往用待定系数法“知三求二”进而解决问题； （2）等差数列前n项和的最值问题，经常转化为二次函数的最值；有时利用数列的单调性（d0,递增；d0,递减）；（3）等差数列的性质：设m、n、p、q为自然数，若m+n=p+q，则am+an=ap+aq.  变式训练 1 （2009·安徽理，5）已知{an}为等差数 列，a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,以Sn表示{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是 （ ） A.21 B.20 C.19 D.18 解析 ∵(a2-a1)+(a4-a3)+(a6-a5)=3d, ∴99-105=3d,∴d=-2. 又∵a1+a3+a5=3a1+6d=105,∴a1=39. ∴Sn=na1+ =-n2+40n=-(n-20)2+400. ∴当n=20时，Sn有最大值. B 二、等比数列的通项及前n项和 例2 （2009·枣庄模拟）设数列{an}是公差 为d的等差数列，a3+a5=2,S20=a1+a2+…+a20=150， 又bn= (n∈N*). （1）求a1、d的值； （2）求证：{bn}是等比数列，并求bn； （3）设k为某个自然数（k≠0），求bkbk+1+bk+1bk+2+…+bn-1bn的值. 思维启迪 （1）用等差数列的基本量；（2）用 等比数列的定义判断；（3）先判断数列{bn-1bn} 为等比数列. （1）解 由题设 （2）证明 bn= ,bn+1=  , =  . ∵3an+1-2an+2-an=3(an+d)-2(an+2d)-an=-d=-1, ∴ ,∴{bn}是等比数列. ∵b1=1,∴{bn}= . （3）解 由（2）得bkbk+1= ,∴ ∴bkbk+1,bk+1bk+