量子力学 中科大课件 一些自旋算符及它们组成的Hamiltonian讨论.doc

一些自旋算符及它们组成的Hamiltonian讨论 [问题I]，单个自旋向任一方向的投影算符。 1) 算符为书上已研究过的（p.204-205）。它满足，所以其本征值为，其本征函数 所以可将它写为它本身的谱表示： 2) 计算对易子。下面略去脚标。 先计算： 于是有 3) 再往算 先算轨道角动量的分量的对易子： 于是有 4) 再往算 总之有 于是，这种算符将保持此费米子的总角动量不变。 5) 再往算。 显然，由于单个自旋的，有 6) 再往算 为计算，先算它的分量： 于是有 最后得 7) 再往算 即有 ※ ※ ※ [问题II]，自旋算符的研究。 它们之间相互作用的形式，除纯粹含的部分以外，其中主要组成部分是如下形式 现在来分析这种算符的各种性质。 1) 这种形式下的对全空间方位角的等权积分为零。 因为，所以有 因此，只对相对运动为非球对称的空间概率分布起作用，它在态中平均值为零，不起作用。 2) 它的本征值为： 解1： 由[1]第222页，利用自旋投影算符和自旋交换算符来表示这个，即知它的平方满足下面二次方程式 于是利用，将本征值代入，即得下面两个方程 然而，现在有一个重根，重数为2。这会导致出现一个虚假的根。究其原因是由于，在有重根的情况下，“取任一本征值”和“取任一本征值”这两件事之间有时会有关联，并非两者的任意两种取值都是彼此独立的。实际上本征值为 本来，此直积矩阵的维数是，有四个根是对的。由于，4个根的总和应为零。 解2：鉴于第一项形式（第二项可化为自旋交换算符，它易于运算），取如下4个正交归一基矢 于是，将作用到它们上面，得 转入矩阵表示，即得所相应的矩阵为 容易得到，它的4个根为。 解3：可以直接看出：的4个本征矢量为 它们分别对应的本征方程为 3) 接着往算： （用乘以任意矢量办法，易知大括号内的量确实不等于零： ） 4) 再往算 注意，故。因此直接有 这是说，算符不保持两个费米子的总自旋矢量不变。 另外，也有 算符也不保持两个费米子相对运动的轨道角动量矢量不变。 5) 由上面两点可知， 但是，算符保持这两个费米子的总角动量矢量不变。 6) 计算对易子。 就是说，算符保持此费米子的总自旋平方不变，即不改变状态总自旋的数值大小。 7) 计算对易子 由于 所以有 将上面两个结果代入，并注意有，得 ※ ※ ※ [问题III]，1）核力是强相互作用的剩余作用力。实验发现核力与电荷无关。据此可以认为，原子核内的质子和中子其实是同一种粒子——“核子”在一种内禀的“同位旋空间”中的两种不同状态。于是，一般可以将两个核子间的相互作用位势表示为。这里是每个核子的同位旋矢量。 又由于核物理只涉及1-15量级的能量变化，远小于核子本身将近1000的静止能量，所以核内核子间的问题可以应用非相对论量子力学。至多再加上相对论性修正。 依据相互作用位势必须是空间平移不变的，所以其中只能含两核子之间的相对坐标；加之，应有Galileo变换不变性， 也不应含每个核子的动量，而只应含它俩的相对动量。 由于自旋和同位旋算符、均满足，，所以中含和最多为二次幂式。由于同位旋空间旋转不变性，应当是两个粒子同位旋的标量。从同位旋算符的角度来表示， 的形式应为（不计含的项，因为它们是常数） 2）下面进一步确定形式。原则上，下面叙述对都适用。 由核力宇称守恒空间反演不变： 由核子全同粒子置换对称性： 由此两条得知，应对两个核子自旋算符交换为对称的： 另外，依据以下两点： 由核力时间反演不变性： 位势各项对空间转动均应为标量。 由第二条可知，除含旋轨耦合因子项外，应当有。结合第一条即得，除旋轨耦合项外，应有 利用这点，也即除项外，结合置换对称和自旋交换对称，还有 总之是说，除旋轨耦合项外，中不出现含和一次幂的项，即不再含等项，更不会出现等项，因为它们甚至不是自旋算符交换对称的。最后，中只应出现下列诸项以及它们的组合（不计常数项）： 于是，得到一般形式为 3）进一步，若只考虑定域相互作用，则中将不存在含的项。 当然也就不存在含轨道角动量的项。这时核子间相互作用成为 4）使用核子的位置、自旋、同位旋三种置换算符来更换上面的表达式。这时注意，因为费米子体系总波函数是反称的，所以有 由此。再注意到：，于是有 ※ ※ ※ [问题IV]自旋粒子组成一个体系。其Hamiltonian为 求系统的能级及能级的简并度。 答：这是一个纯由自旋算符组成的Hamiltonian。其自变数本来即为 所以此系统自由度的数目是3。鉴于之间：