第三章有界线性算子黎永锦.doc

第3章 有界线性算子 　　音乐能激发或抚慰情怀,绘画使人赏心悦目, 诗歌能动人心弦,哲学使人获得智慧,科学可 改善物质生活,但数学能给予以上的一切. (克萊恩) (1849-1925,德国数学家) 在1922年建立了完备赋范线性空间的公理,证明了一些基本定理后,就讨论了定义在一个完备赋范线性空间上而取值为另一个完备赋范线性空间的算子,在这类算子中最重要的是连续加法算子,所谓加法算子是指对所有,,都有.容易证明,是连续加法算子时,必有成立.证明了若是连续的加法算子,则存在常数,使得.另外他还证明了若是连续加法算子序列,也是加法算子,且对任意,都有,则T也是连续的. 在1922年证明了,若是一个完备赋范空间,为上的一列线性连续泛函,且对任意,都有上界,则一定是有界的. 　　 和在1927年证明了,若为完备赋范空间到赋范空间的线性连续算子,且对任意,都有界,则一定有界,这就是空间理论中最重要的定理之一,即一致有界原理. 在1929年至1930年还引进并讨论了算子的几种收敛性. 在1932年,出版了线性算子理论（）一书,书中包括了当时有关赋范线性空间的绝大部分结果,而非常著名闭图像定理就是该书中一个定理的推论. 　 3.1 有界线性算子 算子就是从一个空间到另一个空间映射,算子可分为线性算子与非线性算子. 定义3.1.1 设和都是赋范空间,是从到的算子,且满足 （1） , ； （2） , . 则称为到的线性算子. 明显地,若是数域,则到的线性算子就是线性泛函. 例 3.1.1 定义从到算子 则对任意,有,使得.故.因此 ,即是到的算子,并且 所以是到的线性算子. 例 3.1.2 设是从到的算子,且对任意,定义,这里时,, 时,,则是从到的线性算子. 类似于线性连续泛函,对于线性连续算子,容易看出下面定理成立. 　　 定理 3.1.1 设是赋范空间到的线性算子,则在上连续当且仅当在某个处连续. 线性算子的连续与有界性有着密切的联系. 　　 定义 3.1.2 设是赋范空间到的线性算子,若存在数,使得 ,成立. 则称是有界线性算子,否则称为无界的. 类似于线性有界泛函,有下面的定理. 　　 定理3.1.2 设是赋范空间到的线性算子,则是有界的当且仅当是连续的. 由上面定理可知,当是到的线性连续算子时,必有,使得 由此对,有. 定义3.1.3 若是到的线性连续算子,则称 为的范数. 容易看出,. 例3.1.3 设是赋范空间,是到的恒等算子,则是连续的,且. 有限维赋范空间上的线性算子的连续性显得特别简单明了. 定理3.1.3 若是有限维赋范空间,是任意赋范空间,则到的任意线性算子都是连续的. 证明 设是n维赋范空间,是的基,则对任意,有. 由于是线性的,故 对任意,定义,则是上的范数,因此与等价, 即存在,使得 令,则 所以,是到的连续线性算子. 若用记所有从赋范空间到赋范空间的线性连续算子,则在线性运算下是一个线性空间,在空间中,由算子范数的定义有和,以及时成立.因此在算子范数下是一个赋范空间,并且当是空间时,也是空间. 定理 3.1.4 设是赋范空间,是空间,则是空间. 证明 设为的列,因此对任意,存在,使得时 对任意,有 因此为中的列,由的完备性质可知,存在,使得 定义到的算子, ,易知是线性的. 由于,因此为中的列,从而存在,使得故,从而是到的线性连续算子. 　　 由上面证明可知对任意,存在,使得时,有 . 令,则  因此 对任意成立，从而,所以,是完备的. 　　 由于数域完备,因此容易看到下面结论成立. 推论3.1.1 对于任意赋范空间,一定完备. 后面都将记为,称之为的共轭空间,因此所有赋范空间的共轭空间都是完备的. 3.2 一致有界原理 设和是空间.是中的一族有界线性算子,一致有界原理指的是若对于任意是有界集,则一定是有界集, 即.其实,这一定理的一些特殊情形,许多数学家早就注意到了,如和等,在1922年总结了他们的结果,证明了对空间上的一列线性泛函,若任意有界,则一定有界.独立地,证明了比更一般的情形,即设是空间到空间的一列算子,若对任意有界,则一定有界,最后在1927年与利用在1899年证明的一个引理,证明了一致有界原理. 引理 3.2.1 (Baire引理) 设是空间中的一列闭集,若,则存在某个使得. 　　 下面举两个例子. 例 3.2.1 在中,, 则有内点,故必有某个. 例 3.2.2 在中,,则对任意,,且 , 所以. 　　在1912年,建立了上的一致有界性原理,空间上的一致有界性原理是[