建模入门练习题.doc

露天采矿问题（A） 某公司获准在一块的方形土地上露天采矿。因为土石滑坡，挖坑的坑边坡度不能超过。公司已得到不同位置不同深度处的矿砂所含纯金属的百分数的估计值。考虑到坡角对挖坑工作所加的限制，公司决定将问题按长方形块的挖取问题处理。 每个长方形块的水平尺寸为，铅直尺寸为。若在一个深度层上挖了4块；则在下一层上还可为挖一块；下图所示的情形（实线为上一层块，虚线为下一层块）是俯视这5块的水平位置关系。 俯视图 这样以来，所能挖取的块数，第一层最多16块，第二层最多9块，第三层最多4块，第四层最多1块。不能再往深挖取。所有这些可能挖取的块，按已得的估计值，将各块含金属的百分数作为块的值，则各块的值如下： 第一层（地表层） 1.5 1.5 1.5 0.75 1.5 2.0 1.5 0.75 1.0 1.0 0.75 0.5 0.75 0.75 0.5 0.25 第二层（深25m处） 4.0 4.0 2.0 3.0 3.0 1.0 2.0 2.0 0.5 第三层（深50m处） 12.0 6.0 5.0 4.0 第四层（深75m处） 6.0 各层的块挖取费用 层 一 二 三 四 块费用 3000 6000 8000 10000 挖取一块的收入同该块值成正比；挖一个值为100的块可收入为200000。试建立一模型以帮助决定挖取哪些块，使纯收入最大。 粮库选址问题（B） 某乡要建立一个粮库，以存储各村农民上缴的公粮。该乡九个村庄，如下图所示： 图中的数字是各村要上交的公粮数（吨），各村之间的距离为：，，，，，，，，，。 为了最大限度地减少运输费用，粮库就应建在合适的位置（或在村中，或在村间的道路上）。试建立一模型以确定粮库的最佳位置。 在A村建粮库： 在B村建粮库： 在C村建粮库： 在D村建粮库： 在E村建粮库： 在F村建粮库： 在G村建粮库： 在H村建粮库： 在I村建粮库： 离合器片缠绕工艺设计（C） 这是生产中的一个实际问题，生产缠绕式离合器的缠绕工序简要描述如下： 一个在凸轮控制下作水平运动的喷头不断喷出涂了生橡胶的玻璃纤维丝，铺放在匀速转动的一个圆盘中。当玻璃纤维丝达到总长度时停止，以后在高温下固化成型，即得到一个缠绕式离合器片。除了电机、减速器等传动机构、进料机构、固化成型机构和机架等可常规设计外，这个工艺的首要问题是考虑曲线铺放在胎具中的形状，进而形成对凸轮的设计，而这也是工艺设计中的核心问题。 从使用的角度来看，离合器片是很平的环片状，显然密度要均匀，即要求丝铺设均匀（一种描述就是单位面积重量相同），又满足一定的力学条件（例如剪应力，疲劳强度等等），这就需要玻璃纤维丝在环内不断交叉，形成网状。 从简化凸轮设计的角度来看，整条曲线应分为若干形状完全相同的段，即曲线应有周期，并且在每个周期中曲线应与内、外圆至少各相交一次。习惯上，称一个圆周中的周期个数为花瓣数，经验上看瓣数至少为2。为了实现上述生产工艺，必须设计出凸轮的形状，凸轮与胎盘转速之比这两个关键因数。 我们用数学语言来描述这个问题：即在一个平面环形（内半径为，外半径为）区域中自环内某点开始出发作一个曲线，要求曲线满足条件： 1、连续，总长度为左右； 2、设曲线从内圆上某点开始，波动式地在环形内缠绕，具有周期性，花瓣数至少为2； 3、曲线间必须是相交的，且多次相交，还不允许重复； 4、在每个周期内必须和内圆、外圆各相交一次； 5、要求圆环内任何位置，单位面积中所含各条曲线总长度尽量相同，即分布均匀； 6、尽量简单，便于实现。 请针对，，情况给出设计。 奶制品生产计划（D） 一奶制品加工厂用牛奶生产A1,A2两种初级奶制品，它们可以直接出售，也可以分别加工成B1,B2 两种高级奶制品再出售。目前的技术有： 每桶牛奶可加工成2公斤A1和3公斤A2 ，每桶牛奶的买入价为10元，加工费为5 元，加工时间为15 小时。 每公斤A1 可深加工成0.8公斤B1，加工费为4元，加工时间为12小时。 每公斤A2可深加工成0.7 公斤B2 ，加工费为3 元，加工时间为10小时。 根据市场状况，高级奶制品的需求量占全部奶制品的需求量的20%至40% ，并且初级奶制品 A1,A2 的售价分别为每公斤10元和9元，高级奶制品B1,B2 的售价分别为每公斤30元和20元。工厂现有的加工能力每周总共2000小时，试在供需平衡的条件下为该厂制定（一周的）生产计划，使利润最大？ （1）拟拨一笔资金用于技术革新，据估计可实现以下革新中的某一项：总加工能力提高10%；各项加工费用均减少10%；初级奶制品,的产量提高10%；高级奶制品,的产量提高10%。问应将资金用于哪项革新，这笔资金的上限（对于一周而言）应为多少？ （2）据市场经济法则，初级奶制品,的售价都要随着它们二者的