导数及其应用(同步辅导教案).doc

课 题 导数及其应用 重 点 ①利用导数研究函数的单调性 ②利用导数求函数的极值与最值 难 点 ①利用导数研究函数的单调性 ②利用导数求函数的极值与最值 课前检测 1.已知函数在处的导数为3,则的解析式可能为 ( ) A. B. C. D. 〖解〗A 2.若曲线在点处的切线方程是,则(A) (B) (C) (D) 【解析】A:本题考查了导数的几何意思即求曲线上一点处的切线方程∵ ,∴ ,在切线,∴ 已知点在曲线上,为曲线在点处的切线的倾斜角,则的取值范围是(A)[0,) (B) (C) (D) 解析:选D.,,即,设函数若则的值为( ) A. B. C. D. 5.函数在区间上的最大值是 A. B. C. D. A 6..函数在区间(2,+)内是增函数,则实数的取值范围是A. B. C. D. 二、知识梳理 1．函数的单调性与导数: 在某个区间内，若，则函数在这个区间内单调递增； 若，则函数在这个区间内单调递减． 2、求函数的极值的方法是： 解方程．当时： 如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值； 如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值． 3、求函数在上的最大值与最小值的步骤是： 求函数在内的极值； 将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 4、导数在实际问题中的应用：最优化问题。 三、范例分析 例1.已知函数处的切线方程为(I)求c、d的值;(II)求函数f(x)的单调区间 解:(I) 而(II)由 令故故函数的单调增区间,单调减区间(0,) 例2.设函数. (Ⅰ)当时,求函数的极大值和极小值;(Ⅱ)若函数在区间上是增函数,求实数的取值范围.解:(Ⅰ)当时, ∴, 令,得,,列表 - ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ ∴的极大值为,的极小值为 (Ⅱ) ①若,则,此函数在上单调递增,满足题意 ②若,则令,得,,由已知,在区间上是增函数,即当时,恒成立 若,则只须,即 若,则,当时,,则在区间上不是增函数综上所述,实数的取值范围是 已知函数. ( I )当时,求函数的单调区间; ( II )若函数的图象与直线只有一个公共点,求实数的取值范围解:(I) 令,解得 令,解得 所以的单调递增区间为, 的单调递减区间为 (II)因为函数的图象与直线只有一个公共点,所以方程只有一个解 ,即只有一个解 令,则其图象和轴只有一个交点,,令,所以, 可列表: + 0 - 0 + 极大值 极小值 所以,在处取得极小值,在取得极大值, 要使的其图象和轴只有一个交点,只要或, 解得 或 已知为实数, (1)若,求在上最大值和最小值;(2)若在和上都是递增的,求的取值范围解:(1),由得 此时 令得 当变化时,的变化情况如下表: + 0 - 0 + 0 ↗ 极大值↘ 极小值↗ 0 (2)的图象为开口向上且过点的抛物线在和上都是递增的,当或时,恒成立, 则 故的取值范围为 已知函数 .(Ⅰ)求函数的单调区间与极值;(Ⅱ)设,若对于任意,恒成立,求实数的取值范围.解: (Ⅰ)因为所以.令解得.因为当或时,;当时,.所以的单调增区间是和,的单调减区间是.所以是的极大值,是的极小值 (Ⅱ). 由已知恒成立,因为,所以恒成立,即 恒成立.因为,所以,(当且仅当时取“=”号),所以的最小值为2. 由,得,所以恒成立时,实数的取值范围是 在某点处的导数为0，是该函数在此点取得极值的必要条件，不是充分条件，即若是 可导函数的极值点，则=0，但导数为0的点不定是极值点，如，在处导数 ，但不是它的极值点； 3.极值点不一定是最值点，最值点也不一定是极值点，但如果连续函数在开区间内只有一个极值点，则极大值就是最大值，极小值就是最小值； 4.在求可导函数的最值时，不必讨论导数为零的点是否为极值点，而直接与端点处的函数值进行比较即可，对于一般函数而言，函数的最值必在下列各种点中取得：导数为0的点，导数不存在的点，端点; 5.利用导数研究函数的单调性是一种非常重要的方法，但要注意（或）仅是在某个区间上为增函数（或减函数）的充分条件，在内可导的函数在上递增（或递减）的充要条件是（或），恒成立，且在区间的任意子区间内都不恒等于0。 五、课外练习 1. 函数在(A)上是增函数 (B)上是减函数 (C)上是增函数 (D)上是减函数