2009届高三数学二轮专题复习教案――数列.docVIP

2009届高三数学二轮专题复习教案――数列 一、本章知识结构： 二、重点知识回顾 １．数列的概念及表示方法 　　（１）定义：按照一定顺序排列着的一列数． 　　（２）表示方法：列表法、解析法（通项公式法和递推公式法）、图象法． 　　（３）分类：按项数有限还是无限分为有穷数列和无穷数列；按项与项之间的大小关系可分为单调数列、摆动数列和常数列． 　　（４）与的关系：． 　　2．等差数列和等比数列的比较 　　（１）定义：从第2项起每一项与它前一项的差等于同一常数的数列叫等差数列；从第2项起每一项与它前一项的比等于同一常数（不为0）的数列叫做等比数列． 　　（２）递推公式：． 　　（３）通项公式：． 　　（４）性质 　　等差数列的主要性质： 　　①单调性：时为递增数列，时为递减数列，时为常数列． 　　②若，则．特别地，当时，有． 　　③． 　　④成等差数列． 　　等比数列的主要性质： 　　①单调性：当或时，为递增数列；当，或时，为递减数列；当时，为摆动数列；当时，为常数列． 　　②若，则．特别地，若，则． 　　③． 　　④，…，当时为等比数列；当时，若为偶数，不是等比数列．若为奇数，是公比为的等比数列． 三、考点剖析 考点一： （1）求数列的通项公式； （2）求数列 解：（1）当；、 当， 、 （2）令 当； 当 综上， 点评：本题考查了数列的前n项与数列的通项公式之间的关系，特别要注意n＝１时情况，在解题时经常会忘记。第二问要分情况讨论，体现了分类讨论的数学思想． 例２、（2008广东双合中学）已知等差数列的前n项和为，且，. 数列是等比数列，（其中）. （I）求数列和的通项公式；（II）记.解（I）公差为d，则 . 设等比数列的公比为， . （II） 作差： . 点评：本题考查了等差数列与等比数列的基本知识，第二问，求前n项和的解法，要抓住它的结特征，一个等差数列与一个等比数列之积，乘以２后变成另外的一个式子，体现了数学的转化思想。 考点二：求数列的通项与求和 例3.（2008江苏）将全体正整数排成一个三角形数阵： 按照以上排列的规律，第行（）从左向右的第3个数为 解：前n－1 行共有正整数1＋2＋…＋（n－1）个，即个，因此第n 行第3 个数是全体正整数中第＋3个，即为． 点评：本小题考查归纳推理和等差数列求和公式，难点在于求出数列的通项，解决此题需要一定的观察能力和逻辑推理能力。 例4.（2008深圳模拟）图（1）、（2）、（3）、（4）分别包含1个、5个、13个、25个第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”，按同样的方式构造图形，设第个图形包含个“福娃迎迎”，则　　　　；＿＿＿＿ 解：第1个图个数：1 第2个图个数：1+3+1 第3个图个数：1+3+5+3+1 第4个图个数：1+3+5+7+5+3+1 第5个图个数：1+3+5+7+9+7+5+3+1=， 所以，f（５）＝４１ f(2)-f(1)=４ ，f(３)-f(２)=８，f(４)-f(３)=１２，f(５)-f(４)=１６ 点评：由特殊到一般，考查逻辑归纳能力，分析问题和解决问题的能力，本题的第二问是一个递推关系式，有时候求数列的通项公式，可以转化递推公式来求解，体现了转化与化归的数学思想。 考点三：数列与不等式的联系 例5.（２００９届高三湖南益阳）已知等比数列的首项为，公比满足。又已知，，成等差数列。 （1）求数列的通项 （2）令，求证：对于任意，都有 （1）解：∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ （2）证明：∵ ， ∴ 点评：把复杂的问题转化成清晰的问题是数学中的重要思想，本题中的第（２）问，采用裂项相消法法，求出数列之和，由n的范围证出不等式。 例６、(2008辽宁理) 在数列，中，a1=2，b=4，且成等差数列，成等比数列（） （Ⅰ）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测，的通项公式，并证明你的结论； （Ⅱ）证明：． 由此可得 ． 猜测． 用数学归纳法证明： ①当n=1时，由上可得结论成立． ②假设当n=k时，结论成立，即 ， 那么当n=k+1时， ． 所以当n=k+1时，结论也成立． 由①②，可知对一切正整数都成立． （Ⅱ）． n≥2时，由（Ⅰ）知． 故 综上，原不等式成立． 点评：本小题主要考查等差数列，等比数列，数学归纳法，不等式等基础知识，考查综合运用数学知识进行归纳、总结、推理、论证等能力． 例７. （2008安徽理）设数列满足为实数 （Ⅰ）证明：对任意成立的充分必要条件是； （Ⅱ）设，证明：; （Ⅲ）设，证明： 解： (1) 必要性