浅谈导数在实际问题中的应用.doc

浅谈导数在实际问题中的应用 摘要：导数是高等数学中的主要内容之一，是近代数学重要基础，是联系初等数学和高等数学的纽带，其应用非常广泛。导数由于其应用的广泛性，为解决有关函数问题提供了一般性的方法，导数是研究函数的切线、单调性、极值与最值等问题的有力工具；运用它以简捷地解决一些实际问题Application of Derivative in the Practical Problems Abstract: Derivative is the main content of higher mathematics is one of the important foundation of modern mathematics is elementary mathematics and advanced mathematics to contact the bond, which is widely used. Derivative due to its wide application for solving problems related to a general function of the method is to study the derivative of the tangent function, the extreme value problems and the most powerful tool; the use of it can be simple to solve some practical problem. In this paper, based on the literature, given the derivative nature and status of the research function of the number of applications, and theory with practice, study the derivative of profits, resources, container manufacturing, and change the application of road Relocation to promote the results of the literature Keywords: derivative; extremum; application  1 引言 导数亦名微商，由速度问题和切线问题抽象出来的数学概念。又称变化率。一般地，假设一元函数在点的附近内有定义，当自变量的增量＝→0时函数增量与自变量增量之比的极限存在且有限，就说函数在点可导，称之为在点的导数（或变化率若函数在区间的每一点都可导，便得到一个以为定义域的新函数，记，称之为的导函数，简称为导数函数在点的导数的几何意义：表示曲在点的切线斜率。 单调区间。 解 函数的定义域， 令，其根是1与3，他们将分成三个区间： 当或时，;当时，，所以函数的递增区间为和，函数的递增区间为. 例2 设函数=在处取得极值，试用表示和,并求的单调区间。 解 依题意有,而 故，解得从而 令，由于在处取得极值，故1，即，分以下两种情形讨 ⑴ 若1，即，则当时，当；当时从而的单调增区间为，；单调减区间为. ⑵ 若1，即同上得：的单调递增区间为单调减区间为. 利用导数判断函数的单调性，因为函数是可导函数，从而它的单调增区间就是0的解，它的单调减区间是(x)0的解。依据导数在某一区间内的符号来确定函数的单调区间，体现了形象思维的直观性，解决这类问题，如果利用函数的定义来确定的单调区间，运算繁琐，区间也难找准确。此时要注意的是0是为增函数的充分不必要条件而非充要条件。 3.2导数在研究函数极值与最值中的应用 例3 已知函数=,求其函数的最大值与最小值。 解 ，对于任意的，最小值最大值=. 例4[3] 若函数在处时有极值，求函数在区间上的最值。 解 函数的定义域为，因从而 取得极值，可知(1)=0即 解得,= =0得=1或=1,当变化时，的变化状态如下 表1 (,-1) -1 (-1,1) 1 ( 1,+) (x) — 0 + 0 — ↓ 极小值-1 ↑ 极大值3 ↓ 由表1可知，故时，取得极小值为-1，当时，取得极大值3， =19, 因此时，在上取得最大值19；当=-1,在上取得最小值-1. 利用导数的性质先求函数的极值，再决定极值是否为最值，设函数在上连续，在可导,求函数在上最大值与最小值的步骤如下： （1）求在内的极值； （2）将的各极值同与比较，确定