浅论数学高考题目中的导数.doc

浅论数学高考题目中的导数 【摘　要】导数进入高中数学教材已经有多年，它给传统的中学教学带来了新的生机与活力.导数对于研究数学问题而言是一个非常优秀的工具，它可以十分广泛的应用于各种数学问题的研究.在历年的高考中，导数常与方程、函数、不等式等等的知识点相交汇，以各种形式出现.其中不乏颇具亮点的题目，为高考数学增色不少.本文就导数的一些相关知识与导数在高考中的一些常见题型做出了些许的分析和研究. 【关键词】导数；高考；导数的应用. 1.引言 导数进入高中数学教材已经有多年，它给传统的中学教学带来了新的生机与活力.导数对于研究数学问题而言是一个非常优秀的工具，它可以十分广泛的应用于函数问题、不等式问题、解析几何问题等等数学问题的研究，并为此提供新的视角、新的方法、新的途径.就目前而言，导数在教学中的主要目标是导数的本质及其应用，导数依旧是学生必须掌握的一个重要知识.由于导数其知识内涵的基础性及其应用的广泛性，使得导数不仅成为了高中数学的一个创新点，更成为了数学高考中的一个“熟客”. 在历年的高考中，导数常与方程、函数、不等式等等的知识点相交汇，以各种形式出现，其中不乏颇具亮点的题目，为高考数学增色不少.本文就导数的一些相关知识与导数在高考中的一些常见题型做出了些许的分析和研究. 2.导数的相关知识 2.1 导数的概念 导数（Derivative）是微积分中的重要基础概念.当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分.可导的函数一定连续不连续的函数一定不可导.导数实质上就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则来源于极限的四则运算法则.设函数在点定义，当自变量在处有增量时，相应地函数取得增量；如果与之比当时极限存在，存在且有限，则称这个极限值为函数在点处的导数记为如果函数在开区间内每一点都可导，就称函数在区间内可导.这时函数对于区间内的每一个确定的值，都对应着一个确定的导数，这就构成一个新的函数，称这个函数为原来函数的导函数，记作,, , .导函数简称导数.函数在点的导数的几何意义：表示函数曲线在点的切线斜率该函数曲线在这一点上的切线斜率； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）； （10）； （11）； （12）其中； （13）； （14）； （15）； （16）. 为了便于记忆，有人整理出了以下口诀： 常为零，幂降次，对导数（为底时直接导数，为底时乘以），指不变（特别的，自然对数的指数函数完全不变，一般的指数函数须乘以）；正变余，余变正，切割方（切函数是相应割函数（切函数的倒数）的平方），割乘切，反分式内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减．如果在某个区间内恒有，则是常数函数． 注意：在某个区间内，是在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件，如在内是增函数，但时.也就是说，如果已知为增函数，解题时就必须写. 求函数单调区间的步骤： ①确定的定义域； ②求导数； ③由（或）解出相应的的范围．当时，在相应区间上是增函数；当时，在相应区间上是减函数． 3.1.2函数极值的判定 ①如果在两侧符号相同，则不是的极值点； ②如果在附近的左右侧符号不同，那么，是极大值或极小值. 3.1.3 求函数的极值 ①确定函数的定义域； ②求导数； ③在定义域内求出所有的驻点与导数不存在的点，即求方程及的所有实根； ④检查在驻点左右的符号，如果左正右负，那么在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值． 3.1.4 求函数的最值 如果在上的最大值（或最小值）是在内一点处取得的，显然这个最大值（或最小值）同时是个极大值（或极小值），它是在内所有的极大值（或极小值）中最大的（或最小的），但是最值也可能在的端点或处取得，极值与最值是两个不同的概念． 求在上的最大值与最小值的步骤： ①求在内的极值； ②将的各极值与，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 3.1.5实际问题 实际生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题称为优化问题，优化问题也称为最值问题．解决这些问题具有非常现实的意义．这些问题通常可以转化为数学中的函数问题，进而转化为求函数的最大（小）值问题． 3.2 利用导数的几何意义求解函数的切线方程 函数在点的导数的几何意义：表示函数曲线在点的切线斜率该函数曲线在这一点上的切线斜率的切线斜率，随后只需要运用点斜式就可以求出切点为的切线方程. 3.3 利用导数求解一些不等式问题 3.3.1利用导数得出函数单调性来证明不等式 我们知道，如果函数在某个区间内其导数值小于（或大于）0，则此函数在这个区间上单调递减（或递增）.因此在一些不等式问题中，我们往往可以通过构造一个函数的方式