2013届新课标高中数学(理)第一轮总复习第10章 第57讲 平面的基本性质与空间两条直.ppt

* 平面的基本性质 【例1】 回答下列问题： (1)不重合的三条直线相交于一点，最多能确定多少个平面；若相交于两点，又最多能确定多少个平面？ (2)分别和两条异面直线都相交的两直线的位置关系是怎样的？ 【解析】(1)依据“两条相交直线可确定一个平面”知：不重合的三条直线相交于一点，最多能确定3个平面．若三条直线相交于两点，则最多能确定2个平面(这里有两条直线为异面直线)． (2)不妨设a、b为异面直线，直线c分别与a、b交于点A、B，直线d分别与a、b交于点C、D.若A、C重合或B、D重合，则直线c、d相交；若A与C和B与D均不重合，则c、d异面．(否则，c、d共面，不妨设c、d共面于平面α，则c、dα，所以A、B、C、D∈α.又A、C∈a，B、D∈b，所以a、bα，与a、b异面矛盾！) (1)中若去掉“最多”二字，则前者结论是1或3；后者结论是1或2.(2)题不易从正面说清，因而用反证法，体现“正难则反”的思维规律． 【变式练习1】 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1和CC1的中点．请画出平面DMN与平面BB1C1C及平面ABB1A1的交线． 【解析】如图，平面DMN∩平面BB1C1C＝PN，平面DMN∩平面ABB1A1＝RM. 共点、共线、共面 问题 【例2】 如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是AB的中点，F是A1A的中点，求证： (1)E、C、D1、F四点共面； (2)CE、D1F、DA三线共点． 【解析】(1)连结A1B、CD1. 因为E是AB的中点，F是A1A的中点，则EF∥A1B. 又在正方体ABCD—A1B1C1D1中，A1B∥D1C， 所以EF∥D1C. 故E、C、D1、F四点共面． (2)由(1)知，EF∥D1C且EF＝D1C， 故四边形ECD1F是梯形，两腰CE、D1F相交，设其交点为P，则P∈CE. 又CE平面ABCD，所以P∈平面ABCD. 同理，P∈平面ADD1A1. 又平面ABCD∩平面ADD1A1＝AD， 所以P∈AD，所以CE、D1F、DA三线共点． 公理体系是整个立体几何的基础，是空间线面位置关系的支撑，是学生形成空间想象能力的基本依据．熟练掌握四个公理及其推论，是解决共点、共线、共面问题的关键．公理1是判断一条直线是否在某个平面的依据；公理2是证明三线共点或三点共线的依据．要能够熟练用文字语言、符号语言、图形语言来表示公理；公理3及其推论(过直线和直线外一点、两条相交直线、两条平行直线有且只有一个平面)是判断或证明点线共面的依据． 【例3】 一个正方体的纸盒展开后如图．在原正方体的纸盒中有下列结论： ①AB⊥EF； ②AB与CM成60°角； ③EF与MN是异面直线； ④MN∥CD. 其中正确的是________． 空间两条直线的位 置关系 【解析】原正方体如图所示，AB可平行移动到CM位置，即AB∥CM.在正方形CEMF中，CM⊥EF，故AB⊥EF，①正确，②错误；同理，MN⊥CD，故④错误，只有①③正确． 答案：①③ 本题考查学生的空间想象能力．解决问题的关键是将其还原成正方体，要注意字母的相应位置千万不能搞错．空间两条直线的位置关系有三种：平行、相交和异面．对于异面直线，考纲泛读也仅仅是了解而已，但也必须会判断，这对理解两条异面直线的垂直问题有很大帮助． 【变式练习3】 如图是正方体的平面展开图，则这个正方体中：①BM与ED平行；②CN与BM成60°角；③BE与CN是异面直线；④DM⊥BN.其中正确命题的序号为__________. 【解析】将平面展开图还原成 正方体，如图所示．观察图形 知，①错，因为BM与ED垂直； ②对．连结BE、EM.因为CN ∥BE，故∠EBM是异面直线CN、BM所成的角．在正三角形EBM中，∠EBM＝60°，故CN与BM成60°角；③错，因为BE与CN是平行直线；④对，因为CN为BN在平面CDNM内的射影，且CN⊥DM，所以BN⊥DM.综上，正确命题的序号是②④. 1.下列四个命题： ①经过三点确定一个平面； ②经过一条直线和一个点确定一个平面； ③四边形确定一个平面； ④两两相交且不共点的三条直线确定一个平面． 其中真命题为__________. 【解析】经过不在同一直线上的三点确定一个平面；经过一条直线和直线外的一点确定一个平面；空间的四边形不可能确定一个平面． ④ 2.已知a、b、c是三条不同的直线，有下列四个命题： ①若a∥b，b∥c，则a∥c； ②若a与b是异面直线，c与b是异面直线，则a与c是异面直线； ③若a⊥b，b⊥c，则a∥c； ④若a∥c，a与b是异面直线，则b与c是异面直线． 其中真命题为________. ①