工程数学 概率统计简明教程 参数估计.ppt

例2：为估计一物体的重量μ，将其称量10次,得到重量的测量值 (单位: 千克) 如下: 10.l, 10.0, 9.8, 10.5, 9.7, l0.l, 9.9, 10.2, 10.3, 9.9. 设它们服从正态分布 N(? , ?2)。求? 的置信系数为0.95的置信区间。 解: n=10, ? =0.05, t9 (0.025)=2.2622, 例3(续例2): 求?2的置信系数为0.95的置信区间。 解：n=10, ? = 0.05, S2=0.0583, 查附表得， 于是， 二、双正态总体的区间估计 在实际应用中，经常会遇到两个正态总体的区间估计问题。 于是，评价新技术的效果问题，就归结为研究两个正态总体均值之差 ?1-?2 的问题。 例如：考察一项新技术对提高产品的某项质量指标的作用，将实施新技术前的产品质量指标看成正态总体 N(?1, ?12)，实施新技术后产品质量指标看成正态总体 N(?2, ?22)。 定理1：设 X1, X2, ···, Xm是抽自正态总体X 的简单样本，X～N(?1, ?12)，样本均值与样本方差为 Y1, Y2, ···, Yn 是抽自正态总体 Y 的简单样本，Y ～N(?2, ?22)，样本均值与样本方差为 当两样本相互独立时，有 证明: I.由基本定理，知 故，(1) 式成立； 且二者相互独立。 且(3)式与(4)式中的随机变量相互独立。由 t 分布的定义，得 N(0,1) χ 2m+n-2 换形式 ~ t m+n -2 . 分母互换 利用该定理，我们可以得到 μ1-μ2 的置信 系数为 1-α 的置信区间。 例1 (比较棉花品种的优劣)：假设用甲、乙两种棉花纺出的棉纱强度分别为 X～N(?1, 2.182)和Y ～N(?2, 1.762)。试验者从这两种棉纱中分别抽取样本 X1, X2 ,…, X200 和 Y1, Y2, …, Y100，样本均值分别为: 求 ?1-?2 的置信系数为 0.95 的区间估计。 解: ?1=2.18, ?2=1.76, m=200, n=100, ?=0.05, 由(5)式，得? 1-? 2 的置信系数为 1-? 的置信区间为 思考题：某公司利用两条自动化流水线灌装矿泉水。设这两条流水线所装矿泉水的体积 (单位:毫升) X～N(?1, ?2) 和 Y～N(?2, ?2)。现从生产线上分别抽取 X1, X2,…, X12 和 Y1, Y2, …, Y17，样本均值与样本方差分别为: 求 ? 1-? 2 的置信系数为0.95的区间估计。 似然方程组为 由第一个方程，得到 代入第二方程，得到 解：似然函数为 例5：设 X1, X2,…,Xn 是抽自总体 X 的一个样本，X 有如下概率密度函数 其中θ 0为未知常数。求θ 的极大似然估计。 也可写成 求导并令其导数等于零，得 解上述方程，得 1：设总体 X 服从泊松分布 P(? )，求参数? 的极大似然估计。 思考题 2：设 X ～U(a, b)，求 a, b 的极大似然估计。 从前面两节的讨论中可以看到: ● 同一参数可以有几种不同的估计，这时就需 要判断采用哪一种估计为好的问题。 ● 另一方面，对于同一个参数，用矩法和极大 似然法即使得到的是同一个估计, 也存在衡 量这个估计优劣的问题。 估计量的优良性准则就是：评价一个估计量“好”与“坏”的一般标准。 §10.3 估计量的优良性准则 设总体的分布参数为?， 对一切可能的? 成立,则称 为? 的无偏估计。 一、 无偏性 (注意： 它是一个统计量）。 是? 的一个点估计 如果 估计参数?，平均来说它等于?。“一切可能的? ”是指：在参数估计问题中，我们并不知道参数? 的真实取值。所以要求对一切可能的 ? 都要有 说明： 无偏性的意义是：用估计量 成立。 例1：设 X1, X2, …, Xn 为抽自均值为? 的总体X的随机样本，考虑 ? 的如下几个估计量： 例题解析 例2：证明，设总体 X 的均值为?,方差为?2, X1,X2,…,Xn 为来自总体 X 的随机样本。则 分别为总体均值和总体方差的无偏估计。 证明： 另一方面，因 则 注意到 注：1 前面用矩法和极大似然法分别求得了正态总体 N(μ , σ2) 中参数 σ2 的估计,均为 显然它不是 σ2 的无偏估计。用修正了的样本方差 S2来估计 σ2 显然更合理。