2009年华南理工大学数学分析考研试题及解答.doc

华南理工大学2009年数学分析考研试题 1、设函数，其中在的某个小邻域内有定义且在该点处可导，求。 2、设，试证： 。 3、设，求的极值。 4、设，求。 5、计算，其中C为椭圆，方向为逆时针方向。 6、计算，其中S为柱面及平面所围成的空间区域的整个边界曲面外侧。 7、设，判断在上是否一致连续，并给出证明。 8、计算积分，其中。 9、计算积分。 10、设， 讨论以下性质：（1）的连续性；（2）的存在性和连续性； （3）的可微性。 11、设，判断级数的敛散性。 12、设在内有一阶导数， 试证：（1）若，则方程在内至少有一个实根；（2）若，则方程在内至少有一个实根。 华南理工大学2009年数分考研试题解答 1、解：由导数的定义我们有： 2、证：设，则 ， 于是 ，，由此在上严格单调递减， 故， 因此在上严格单调递增，于是立即得到所要证的不等式。 3、解：，求偏导数得： 注意到，即得到二元一次方程组， 解得唯一驻点为， ， 再由，，，可知点（2，1）是极大值点，极大值为4.且在上的最大值为4。 或者由于， 故由，知点（2，1）是极大值点，极大值为4. 或者 ， 得在上的最大值为4，。 4、解：， 于是 。 5、解：做变换，则，其中：， 于是 再取的参数方程：，代入计算就得到： 。 6、解：由奥高公式得到： 设，则，于是就有： 。 7、证：结论是在上一致连续。 证明如下： 首先，对于任意大于1的正数K，在[0,K]上连续，所以一致连续。 另一方面，当时，， 故在上一致连续， 注意到，所以在上是一致连续。 或者 注意到 对任意，成立， 由此，即可得到在上是一致连续。 8、解：首先把积分区域D分割成三块，设， ，， 则 。 9、解：由于，于是，因此由分部积分法就有： ， 故，，， 所以。 10、解：（1）当时，在点处是连续的； 当时，即， 由于：，所以在点处也是连续的。 （2）通过偏导数的定义具体计算知道： 两个偏导数在都是连续的，在处不连续。 （3）当时，在点处是可微的； 由于当时， 的极限不存在， 所以在处不可微。 11、解 首先用数学归纳法可以证明， 于是存在，在递推关系两边取极限解出， 于是就有 由于级数是收敛的，所以由比较原理就知级数也是收敛的。 12、证：（1）由于，故对，存在，当时，就有，即。根据Lagrange微分中值定理知道，其中，于是就有：当充分大时，。同理，，其中，于是就有：当充分小时，。 由于在区间[a,b]上连续，故根据连续函数的零点定理就知方程在内至少有一个实根。 （2）如果，则命题结论显然成立。 如果不恒等于零，则存在，使得，由于，于是对，存在，当时，就有。于是在区间上连续，则必存在最大值或最小值，其最大值点或最小值点（设为）必然在区间， 由于当时，就有，故必是极值点，由于在区间内存在，所以。 因此方程在内至少有一个实根。 2