南京大学2002年和2003年数学分析考研试题及解答.docVIP

南京大学2002年数学分析考研试题 一 求下列极限。 （1）； （2）设，， （i）在上的最大值； （ii）设，，，，求。 二 设，试证明在内有无穷多个零点。 三 设在的某个邻域内连续，且，， （1）求； （2）求； （3）证明在点处取得最小值。 四 设在的某个邻域内具有二阶连续导数，且，试证明： （1）； （2）级数绝对收敛。 五 计算下列积分 （1）求； （2），其中是圆柱面，三个坐标平面及旋转抛物面所围立体的第一象限部分的外侧曲面。 六 设，在内可导，不恒等于常数，且， 试证明：在内至少存在一点，使。 七 在变力的, 第一象限的点,问取何值时，所做的功最大，并求的最大值。 八 （1）证明：，； （2）求。 南京大学2002年数学分析考研试题解答 一 （1）解 . （2）解 （i）, 当时，，在上单增， 当时，，在上单减， 所以在处达到最大值，； （ii）当时，， ， ， ， ，， ， 单调递增有上界，设，则有 ，，， ； 当时，，； 当时，，， ， 二 证明 因为， ，， 显然在上连续，由连续函数的介值定理知，存在使得 ， 即得在上有无穷多个零点。 三 解 （1）， 因为，所以， ， ， 于是； （3）由知，存在，当时，，， 即知中在处取得极小值。 四 、证明 （1）由，知， 由知. （2）， ，已知收敛，其中， 于是收敛，结论得证。 五 （1）解 , 所以 . （2）解 曲面，事物交线为，， ， ， 其中是区域的边界时，利用高斯公式， . 当是的边界时，利用高斯公式 . 六 证明 证法一 用反证法，假若结论不成立，则对任意，都有，在上单调递减，由于不恒等于常数，所以不恒等于零，存在一点，使得，，存在，使得 ，， 因为，， 所以，这与矛盾，从而假设不成立，原结论得证。 证法2 由于在上连续，在上取到最大值和最小值，且，由于，所以的最大值或最小值必在内达到。 若在处达到最大值，存在使得 ， 从而有； 若在处达到最小值，存在使得 ， 从而有； 结论得证。 七 解 设，则有，所以是有势场， ， 由于时， ， ， 等号成立当且仅当， 所以时，达到最大值，且的最大值为。 八 证明 （1）由于当时，有， 对任意，，取，， 所以有； （2）取， 有，收敛， 对任意，在上一致收敛于， 故由函数列积分的黎曼控制收敛定理， 。 南京大学2003年数学分析考研试题 一 求下列极限 （1）设，求； （2）设，，求。 （3）。 二 过点作抛物线的切线，求 （1）切线方程； （2）由抛物线、切线及轴所围成的平面图形面积； （3）该平面图形分别绕轴和轴旋转一周的体积。 三 对任一，求在中的最大值， 并证明该最大值对任一，均小于。 四 设在上有连续导数，且，，（为常数），试证：在内仅有一个零点。 五 计算下列积分 （1）设，，求和； （2），其中为上半球面，的外侧。 六 设，在上黎曼可积， （1）求，并讨论在上的一致收敛性； （2）求，（要说明理由） 七 设的收敛半径为，令，试证明：在上一致收敛于，其中为任一有穷闭区间。 南京大学2003年数学分析考研试题解答 一 （1）解 设，则有， 由此知，； （2）解 由归纳法，易知，， ， 由此知，单调递增有界，设，， 则有 ， ，故。 （3） ， ， 故。 3 解 （1），设切点为，， 设切点的切线方程为。 将，代入，， ， ，， 所求切线方程为，即。 （2）解。 （3） ， 。 三 解 ， 当时，， 当时，， 于是在处达到最大值， 。 容易证明在上单调递减，， ， 故有. 四 证明 对任意， , 当充分大时，有，又，由连续函数的介值定理，存在，， 由，在上严格单调递增，所以在内仅有一个零点。 五 （1）解 ， 显然， ， ， . （2）解 ， ， . 六、解 ， 由于极限函数在上不连续， 所以在上不一致收敛； 但对任何在上一致收敛于0； 且， 根据控制收敛定理， 对于在上黎曼可积， 有 。 七、 证明 由条件知在上连续，在任意有限区间上是一致收敛的， 对任意有限区间，在上一致收敛于， 在上一致有界，， 再由在上一致连续， 于是有在上一致收敛于. 11