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高三数学思想、方法、策略专题 第四讲 函数与方程思想 一．知识探究： 函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，方程f(x)＝0的解就是函数y＝f(x)的图像与x轴的交点的横坐标，函数y＝f(x)也可以看作二元方程f(x)y＝0通过方程进行研究。 就中学数学而言，函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的许多有关方程的问题可以用函数的方法解决，反之，许多函数问题也可以用方程的方法来解决。函数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是历年高考的重点。 1．函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题 2．方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。方程的数学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题。方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系3．函数和方程是密切相关的，对于函数y＝f(x)，当y＝0时，就转化为方程f(x)＝0，也可以把函数式y＝f(x)看做二元方程y－f(x)＝0。函数问题（例如求反函数，求函数的值域等）可以转化为方程问题来求解，方程问题也可以转化为函数问题来求解，如解方程f(x)＝0，就是求函数y＝f(x)的零点 （2）函数与不等式也可以相互转化，对于函数y＝f(x)，当y0时，就转化为不等式f(x)0，借助于函数图像与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式数列的通项或前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要函数f(x)＝（n∈N*）与二项式定理是密切相关的，利用这个函数用赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关理论 （6）立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用布列方程或建立函数表达式的方法加以解决。纵观近几年的高考，函数的主干知识、知识的综合应用以及函数与方程思想等数学思想方法的考查，一直是高考的重点内容之一在高考试卷上，与函数相关的试题所占比例始终在20%左右，且试题中既有灵活多变的客观性试题，又有一定能力要求的主观性试题（a、b、c∈R），则有（ ） (A) (B) (C) (D) 解析： 法一：依题设有 a·5－b·＋c＝0， ∴是实系数一元二次方程的一个实根； ∴△＝≥0 ∴ 故选(B)； 法二：去分母，移项，两边平方得： ≥10ac＋2·5a·c＝20ac， ∴ 故选(B) （2）设方程上有实根，求的取值范围。 分析：本题若直接由条件出发，利用实根分布条件求出a，b满足的条件，视为区域内点与原点距离的平方，以此数形结合，亦可获解，但过程繁琐。考虑到变量a，b是主变量，反客为主，视方程为aob坐标平面上的一条直线l：，P（a，b）为直线上的点，则即为|PO|2，设d为点O到直线l的距离， 由几何条件知： ， 因为，令，则。 且易知函数在上为增函数。 所以。 即。 点评：解法一通过简单转化，敏锐地抓住了数与式的特点，运用方程的思想使问题得到解决；解法二转化为b2是a、c的函数，运用重要不等式，思路清晰，水到渠成。 题型2：函数思想在不等式中的应用 例2．已知，t∈[，8]，对于f(t)值域内的所有实数m，不等式恒成立，求x的取值范围。 解析：∵t∈[，8]，∴f(t)∈[，3]， 原题转化为：0恒成立，为m的一次函数（这里思维的转化很重要）， 当x＝2时，不等式不成立，∴x≠2。令g(m)＝，m∈[，3] 问题转化为g(m)在m∈[，3]上恒对于0，则：； 解得：x2或x－1。 评析：首先明确本题是求x的取值范围，这里注意另一个变量m，不等式的左边恰是m的一次函数，因此依据一次函数的特性得到解决。在多个字母变量的问题中，选准“主元”往往是解题的关键。 题型3：函数思想在实际问题中的应用 例3．为了更好的了解鲸的生活习性，某动物保护组织在受伤的鲸身上装了电子监测装置，从海洋放归点A处，如图（1）所示，把它放回大海，并沿海岸线由西向东不停地对它进行了长达40分钟的跟踪观测，每隔10分钟踩点测得数据如下表