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高三数学思想、方法、策略专题 第三讲 转化与化归思想 一．知识探究： 等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。 1．转化有等价转化与非等价转化。等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保证转化后的结果仍为原问题的结果。非等价转化其过程是充分或必要的，要对结论进行必要的修正（如无理方程化有理方程要求验根），它能带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口。 2．获得原问题的解决。 3．化归与转化应遵循的基本原则： （1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决（2）简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据（3）和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律（4）直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决（5）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解。 2004年全国高考试题卷III）设集合，，则集合中元素的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 （2）（2004年全国高考题卷I）设A、B、I均为非空集合，且满足，则下列各式中错误的是（ ） 解析：（1）将集合中元素个数的符号语言转化为与之等价的文字语言：圆与抛物线交点的个数。因此在同一坐标系内作出圆和抛物线的图象，观察可得选B； （2）将题设条件转化为图形语言，即构造图2，由图形逐一验证，得B项不正确，故应选B。 点评：对于许多集合问题，通过转化，将不熟悉和难解的集合问题转化为熟知的易解的问题，将抽象的问题转化为具体的直观的问题，便于将问题解决。 题型2：函数问题 例2．（1）已知函数α,β满足，求的值； （2）关于x的方程在［0，π］内有解，求a的取值范围。 解析：（1）构造函数 则有 又在R上是单调递增的奇函数，且 故。 （2）分析：此题就直接解三角方程再确定a的范围，简直难以下手，并且繁琐无比，但若转化为求在的取值范围，问题就简单易解，通过简单的计算，很快得到了a的取值范围是。 点评：构造函数解题是数学中的常用方法，通过巧妙地构造辅助函数，把原来的问题转化为研究辅助函数的性质，从而达到解题目的。 题型3：不等式问题 例3．（1）已知a，b，，且，求证：； （2）已知，，且，求证：。 解析：（1） 分析1：，的形式可以联想到两点连线的斜率，所以可构造斜率来解题。 图1 证法1：如图1，设A（b，a），B（-m，-m），其中。因为，则直线OA的斜率： 直线AB的斜率： 因为B在第三象限的角平分线上，所以AB必与x轴正半轴相交，且有 所以，即 分析2：，的形式与相似三角形中的对应线段成比例类似，所以可联想到构造相似三角形来解题。 图2 证法2：如图2，在和，，，，作CE//BD交DF于E。因为，所以（斜边大于直角边） （2）令，。 因为，当时，，所以在（0，1）上是减函数。 又，所以，即。 所以 即原不等式成立。 点评：联想是由一事物联想到另一事物的思维方式和过程，这种联想通常是事物的形式、结构、范围、关系等因素作用的结果。由联想而引发的构造称之为联想构造。 题型4：三角问题 例4．（1）已知，且，求证：； 证明：设，其中 则 原不等式得证。 点评：三角换元法：把代数形式转化为三角形式，利用三角函数的性质解决。 （2）若，则（ ） A． B． C． D． 解析：若直接比较a与b的大小比较困难，若将a与b大小比较转化为的大小比较就容易多了。 因为 又因为 所以，所以 又因为，所以 故选（A）。 点评：体现在三角函数中是切割化弦、统一角、统一函数名称、换元等手段处理求值（域）、最值、比较大小等问题。 题型5：数列问题 例5．等差数列的前n项的和为，且，，求。 解析：显然公差，所以是n的二次函数且无常数项。于是设，， 则，解得。 所以，从而。 点评：数列是一种特殊的函数，动态的函数观点是解决数列问题的有效方法。数列的项可看作定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数。 如等差数列的通项公式，前n项的和公式。当时，可以看作自变量n的一次和二次函数。因此利用函数的思想方法去研究数列问题不仅能加深对数列的理解，也有助