1.3.1条件概率.ppt

* 定理：事件A在一次Bernoulli试验中发生的概率 为p，在n次Bernoulli试验中事件A恰好发生k次 的概率记作：B（k；n，p）则 * 例9 某物业公司负责小区内的30家的各种维修业务，已知一周内向物业公司保修的概率为0.1，求一周内至少有三家住户保修的概率为多少。 可以认为小区住户向是否物业公司保修是相互独立的，可看作n=40，p=0.1的Bernoulli模型，所求的概率为： * 例10 事件A在一次Bernoulli试验中发生的概率 为p，连续试验，直到事件A发生r次试验才停止，问事件A第r次发生在第n次试验的概率？ 解：P(事件A第r次发生在第n次试验) * 袋中有十只球，其中九只白球，一只红球，十人依次从袋中各取一球(不放回)，问 第一个人取得红球的概率是多少？ 第二个人取得红球的概率是多少？ 1.３ 条件概率与事件独立性 * 若已知第一个人取到的是白球，则第二个人取到红球的概率是多少？ 已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率称为 在A条件下B发生的条件概率，记作P(B|A) 若已知第一个人取到的是红球，则第二个人取到红球的概率又是多少？ * 一、条件概率 例1 设袋中有3个白球，2个红球，现从袋中任意抽取两次，每次取一个，取后不放回， （1）已知第一次取到红球，求第二次也取到红球的概率; （2）求第一次取到红球的概率 （3）求两次均取到红球的概率 设A——第一次取到红球,B——第二次取到红球 * 显然，若事件A、B是古典概型的样本空间中的两个事件，其中A含有nA个样本点,AB含有nAB个样本点，则 称为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率. 一般地，设A、B是?中的两个事件，则 * 条件概率的性质 (1) 非负性: P(B|A) ?≥0； (2) 规范性: P(?|A)＝1； (3) 可列可加性：设B1，B2，…, 是一列两两互不相容的事件，即BiBj＝?，(i?j), i , j＝1, 2, …, 有 P[( B1 ?B2 ? … )|A]＝ P(B1 |A ) ＋P(B2 |A)+…. * 例2 一盒中混有100只新 ,旧乒乓球，各有红、白两色，分 类如下表。从盒中随机取出一球，若取得的是一只红球，试求该红球是新球的概率。 红 白 新 40 30 旧 20 10 设A--从盒中随机取到一只红球. B--从盒中随机取到一只新球. * 二、乘法公式 设A、B? ? ?，P（A）0,则 P(AB)＝P(A)P(B|A). 称为事件A、B的概率乘法公式。 乘法公式还可推广到三个事件的情形： P(ABC)＝P(A)P(B|A)P(C|AB). 一般地，有下列公式： P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2|A1)...P(An|A1…An－1). * 例3 盒中有3个红球，2个白球，每次从袋中任取一只，观察其颜色后放回，并再放入一只与所取之球颜色相同的球，若从盒中连续取球4次,试求第1、2次取得白球、第3、4次取得红球的概率。 解：设Ai为第i次取球时取到白球，则 * P21.例1.22 * 定义 事件组A1，A2，…，An (n可为?)，称为样本空间?的一个完备事件组（分割），若满足： A1 A2 … … … … … An B 三、全概率公式与贝叶斯公式 * 定理 设A1，…, An是?的一个分割，且P(Ai)0，(i＝1，…，n)， 则对任何事件B??有 称为全概率公式。 * 例4 某工厂有四条流水线生产同一种产品， 该四条流水线的产量分别占总产量的15%， 20%，30%和35%，又这四条流水线的次品率依次为0.05，0.04，0.03及0.02。现在从出厂产品中任取一件，求抽到的产品是次品的概率。 解： * 若该厂规定，出了次品要追究有关流水线 的经济责任。现在出厂产品中任取一件， 结果为次品，但该件产品是哪一条流水线生产的标志已经脱落，问四条流水线各应承担多大责任？ 例5 某工厂有四条流水线生产同一种产品， 该四条流水线的产量分别占总产量的15%， 20%，30%和35%，又这四条流水线的次品率依次为0.05，0.04，0.03及0.02。 * 定理 设A1，…, An是?的一个分割，且P(Ai) 0，(i＝1，…，n)，则对任何事件B??，有 称为贝叶斯公式。 * 例5 四条流水线各应承担多大责任问题求解 * 例6 某研究机构研发了一种诊断早期肝癌的方法，数据显示，患者用此法被查出的概率为0.95，非患者用此法被误诊的概率为0.1.假