1986-2005年中国数学奥林匹克试题及解答.doc

1． 设，求和． 2．在一个有限的实数列中，任意7个连续项之和都是负数，而任意连续11项之和都是正数，试问这样的数列最多有多少项？证明你的结论． 3．已知，求证中至少有一个不小于． 4．已知，解函数方程． 5．设，为实数，如果对于所有适合的值，都有成立，则对这些的值有． 6．证明对任何正整数都是整数，并且用3除时余2． 7．已知为非零的不共线向量，设条件M：；条件N：对一切不等式恒成立．则M成立是N成立的什么条件？证明你的结论． 8．设多项式的系数都是整数，并且有一个奇数及一个偶数使得及都是奇数，求证方程没有整数根． 9．设，式中各系数都是整数．今设有4个不同的整数使都等于2．试证明对于任何整数必不等于1，3，5，7，9 中的任何一个． 10．已知数列满足，求数列的通项． 11．用任意的方式，给平面上的每一个点染上黑色或白色．求证：一定存在一个边长为1或的正三角形，它的三个顶点是同色的． 12．已知凸四边形，求证这个凸四边形一定可以被为直径的半圆共同覆盖． 13．在中，设，过作的外接圆的切线，又以为圆心，为半径作圆分别交线段于，交直线于、．证明：DE、DF通过内心和一个旁心． 14．设是锐角△的垂心,由向以为直径的圆作切线,切点分别为.求证:三点共线.. 15．在等边所在的平面上找这样的一点，使都是等腰三角形，那么具有这样性质的点有几个． 16．过圆外一点作圆的两条切线和一条割线，切点为、．所作割线交圆于、两点，在、之间．在弦上取一点，使．求证：． 17．将平面上每一个点都以红、蓝两色之一着色，证明，存在这样的两个相似三角形，它们的相似比为2007，并且每一个三角形的三个顶点同色． 18．在坐标平面上顶点坐标均为整数的点叫做整点多边形，求证，整点凸五边形内必有整点． 19．如图,菱形的内切圆与各边分别切于,在弧与弧上分别作⊙O的切线交于交于,交于,交于.求证 20．平面上有6个点，任何3点都是一个不等边三角形的顶点，则这些三角形中有一个的最短边又是另一个三角形的最长边． 21．在正方体的8个顶点处分别放上8个不同的正整数，如果他们的和等于55，那么必定能找到一个侧面正方形，其相对顶点所放的数都是奇数． 　　22．设是异于2，5，13的任一整数．求证在集合中可以找到两个不同元素，使得不是完全平方数． 23．设有个茶杯，开始时，杯口都朝上，现把茶杯随意翻转，规定每次翻转偶数只（翻动过的还可以再翻动），证明，无论翻动多少次，都不可能使杯口都朝下． 24．有100盏电灯，排成一横行，从左到右，我们给电灯编上号码1，2，…，99，100．每盏灯由一个拉线开关控制着．最初，电灯全是关着的．另外有100个学生，第一个学生走过来，把凡是号码为1的倍数的电灯的开关拉了一下；接着第2个学生走过来，把凡是号码为2的倍数的电灯的开关拉了一下；第3个学生走过来，把凡是号码为3的倍数的电灯的开关拉了一下，如此等等，最后那个学生走过来，把编号能被100整除的电灯的开关拉了一下，这样过去之后，问哪些灯是亮的？ 25．证明对任意正整数，分数不可约． 26．的前24位数字为，记为该24个数字的任一排列，求证必为偶数． 27．用表示的约数个数，请对的奇偶性作出证明． 28设与为正整数，满足 求证可被1979整除． 29．用两种颜色给数轴染色，每一个点上只染一种颜色．求证，存在同色两点，它们的距离为1或为2． 30．有个同学围坐在圆周上，若每个学生的两旁都是一男一女，求证是4的倍数． 31．如果从数1，2，14中按由小到大的顺序取出，，，使同时满足 ≥3,≥3,那么，所有符合上述要求的不同取法有多少种？ 32．证明：在任意6个人中，总可以找到3个人互相认识，或互相不认识，并且这种情况至少出现两个． 33．在一次乒乓球循环赛中，名选手中没有全胜的，证明，一定可以从中找到3名选手，使得胜，胜，胜． 34．甲乙两队各出7名队员按事先安排好的顺序出场参加围棋擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者被淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，依次类推，直到有一方队员全被淘汰为止，另一方获胜利，形成一种比赛过程，那么所有可能出现的比赛过程的种数有多少？ 35．设有的正方形方格棋盘，在其中任意的个方格中放一枚棋子，求证，可以选出行列，使得枚棋子都在这行和列中． 36．凸n边形（）玫瑰园的n个顶点各栽有1棵红玫瑰，每两棵红玫瑰之间都有一条直小路相通，这些直小路没有出现“三线共点”的情况——它们把花园分割成许多不重叠的区域（三角形、四边形，…），每块区域都栽有一棵白玫瑰或黑玫瑰． ⑴ 求出玫瑰园里玫瑰总棵数的表达式． ⑵ 花园里能否恰有99棵玫瑰？说明理由． 37．李明夫妇最近参加了一次集会，同时出席的还有三对夫妻．一见面，大家互相握手，当然夫妻之间不握手，也没有人与同一个人握两次手．握手完